La fonction logarithme

Dérivées de composées ln(u) - Exercice 1

30 min
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Déterminer les dérivées des fonctions suivantes, en donnant dans un premier temps leur domaine de dérivabilité.
Question 1

f(x)=2ln(4x+6)f\left(x\right)=2\ln \left(4x+6\right)

Correction
  • (ln(u))=uu\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
  • La fonction ff est définie si et seulement si 4x+6>0x>324x+6>0\Leftrightarrow x>-\frac{3}{2} .
    Ainsi le domaine de définition est Df=]32;+[Df=\left]-\frac{3}{2} ;+\infty \right[.
    De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi ff est dérivable sur ]32;+[\left]-\frac{3}{2} ;+\infty \right[.
    On a : u(x)=4x+6u\left(x\right)=4x+6 et u(x)=4u'\left(x\right)=4
    Ainsi f(x)=2×44x+6f'\left(x\right)=2\times \frac{4}{4x+6} \Leftrightarrow
    f(x)=84x+6f'\left(x\right)=\frac{8}{4x+6}
    Question 2

    f(x)=5ln(7x14)f\left(x\right)=5\ln \left(7x-14\right)

    Correction
    La fonction ffest définie si et seulement si 7x14>07x>14x>147x>27x-14>0\Leftrightarrow 7x>14\Leftrightarrow x>\frac{14}{7}\Leftrightarrow x>2 .
    Ainsi le domaine de définition est Df=]2;+[Df=\left]2 ;+\infty \right[.
    De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi ff est dérivable sur ]2;+[\left]2 ;+\infty \right[.
    On reconnait la forme (ln(u))=uu\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    On a u(x)=7x14u\left(x\right)=7x-14 et u(x)=7u'\left(x\right)=7 .
    Ainsi :
    f(x)=5×77x14f'\left(x\right)=5\times \frac{7}{7x-14} \Leftrightarrow
    f(x)=357x14f'\left(x\right)=\frac{35}{7x-14}
    Question 3

    f(x)=ln(x2+1)f\left(x\right)=\ln \left(x^{2} +1\right)

    Correction
  • (ln(u))=uu\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
  • La fonction ff est définie si et seulement si x2+1>0xRx^{2} +1>0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}.
    Ainsi le domaine de définition est Df=];+[Df=\left]-\infty ;+\infty \right[.
    De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi ff est dérivable sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[.
    On a u(x)=x2+1u\left(x\right)=x^{2} +1 et u(x)=2xu'\left(x\right)=2x
    Ainsi :
    f(x)=2xx2+1f'\left(x\right)=\frac{2x}{x^{2} +1}
    Question 4

    f(x)=ln(ln(x))f\left(x\right)=\ln \left(\ln \left(x\right)\right)

    Correction
  • (ln(u))=uu\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
  • La fonction ff est définie si et seulement si ln(x)>0ln(x)>ln(1)x>1\ln \left(x\right)>0\Leftrightarrow \ln \left(x\right)>\ln \left(1\right)\Leftrightarrow x>1.
    Ainsi le domaine de définition est Df=]1;+[Df=\left]1;+\infty \right[.
    De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi ff est dérivable sur ]1;+[\left]1;+\infty \right[.
    On a u(x)=ln(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et u(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x}
    Ainsi :
    f(x)=(1x)ln(x)f'\left(x\right)=\frac{\left(\frac{1}{x} \right)}{\ln \left(x\right)} \Leftrightarrow
    f(x)=1xln(x)f'\left(x\right)=\frac{1}{x\ln \left(x\right)}
    Question 5

    f(x)=ln(x+1)ln(2x)f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x+1\right)}{\ln \left(2x\right)}

    Correction
  • (ln(u))=uu\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
  • La fonction ff est définie si et seulement si: {x+1>0 et 2x>0{x>1 et x>0\left\{\begin{array}{c} {x+1>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right.
    Ainsi le domaine de définition est
    Df=]0;+[D_{f} =\left]0;+\infty \right[

    De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi ff est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[.
    On reconnaît la forme (uv)=uvuvv2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=ln(x+1)u\left(x\right)=\ln \left(x+1\right) et v(x)=ln(2x)v\left(x\right)=\ln \left(2x\right).
    Ainsi u(x)=1x+1u'\left(x\right)=\frac{1}{x+1} et v(x)=22x=1xv'\left(x\right)=\frac{2}{2x} =\frac{1}{x} .
    Il vient alors que :
    f(x)=1x+1×ln(2x)ln(x+1)×1x(ln(2x))2f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x+1} \times \ln \left(2x\right)-\ln \left(x+1\right)\times \frac{1}{x} }{\left(\ln \left(2x\right)\right)^{2} } \Leftrightarrow
    f(x)=ln(2x)x+1ln(x+1)x(ln(2x))2f'\left(x\right)=\frac{\frac{\ln \left(2x\right)}{x+1} -\frac{\ln \left(x+1\right)}{x} }{\left(\ln \left(2x\right)\right)^{2} }
    Question 6

    f(x)=ln(ex+3x2+1)f\left(x\right)=\ln \left(e^{x} +3x^{2} +1\right)

    Correction
  • (ln(u))=uu\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
  • Comme pour tout réel xx, on sait que ex>0e^{x} >0 et 3x2+1>03x^{2} +1>0 .
    La fonction ff est définie si et seulement si ex+3x2+1>0xRe^{x} +3x^{2} +1>0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}.
    Ainsi le domaine de définition est Df=];+[Df=\left]-\infty ;+\infty \right[.
    De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi ff est dérivable sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[.
    On reconnaît la forme (ln(u))=uu\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    On a u(x)=ex+3x2+1u\left(x\right)=e^{x} +3x^{2} +1 et u(x)=ex+6xu'\left(x\right)=e^{x} +6x
    Ainsi :
    f(x)=ex+6xex+3x2+1f'\left(x\right)=\frac{e^{x} +6x}{e^{x} +3x^{2} +1}
    Question 7

    f(x)=ln(1x)f\left(x\right)=\ln \left(\frac{1}{x}\right)

    Correction
  • (ln(u))=uu\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
  • La fonction ff est définie si et seulement si 1x>0x]0;+[\frac{1}{x}>0\Leftrightarrow x\in \left]0;+\infty \right[.
    Ainsi le domaine de définition est Df=]0;+[Df=\left]0;+\infty \right[.
    De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi ff est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[.
    On a : u(x)=1xu\left(x\right)=\frac{1}{x} et u(x)=1x2u'\left(x\right)=-\frac{1}{x^{2}}
    D'où :
    f(x)=1x21xf'\left(x\right)=\frac{-\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}} . On multiplie par l'inverse du dénominateur :
    f(x)=1x2×x1f'\left(x\right)=-\frac{1}{x^{2} } \times \frac{x}{1}
    Ainsi :
    f(x)=1xf'\left(x\right)=\frac{-1}{x}
    Question 8

    f(x)=ln(2ex+3ex)f\left(x\right)=\ln \left(2e^{x} +3e^{-x} \right)

    Correction
  • (ln(u))=uu\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
  • (eu)=ueu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
  • La fonction ff est définie si et seulement si 2ex+3ex>0x];+[2e^{x} +3e^{-x} >0\Leftrightarrow x\in \left]-\infty;+\infty \right[. En effet, nous savons que , pour tout réel xx, 2ex>02e^{x}>0 et 3ex>03e^{-x} >0
    Ainsi le domaine de définition est Df=];+[Df=\left]-\infty;+\infty \right[.
    De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi ff est dérivable sur ];+[\left]-\infty;+\infty \right[.
    On a : u(x)=2ex+3exu\left(x\right)=2e^{x} +3e^{-x} et u(x)=2ex3exu'\left(x\right)=2e^{x} -3e^{-x} .
    D'où :
    f(x)=2ex3ex2ex+3exf'\left(x\right)=\frac{2e^{x} -3e^{-x} }{2e^{x} +3e^{-x} }
    Question 9

    f(x)=ln(3x+42x2)f\left(x\right)=\ln \left(\frac{3x+4}{2x-2} \right) sur un intervalle II que l'on ne cherchera pas à déterminer.

    Correction
  • (ln(u))=uu\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
  • On reconnaît la forme (ln(u))=uu\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u} avec u(x)=3x+42x2u\left(x\right)=\frac{3x+4}{2x-2} . Nous allons calculer tout d'abord la dérivée de uu .
    Il vient alors que :
    u(x)=3×(2x2)(3x+4)×(2)(2x2)2u'\left(x\right)=\frac{3\times \left(2x-2\right)-\left(3x+4\right)\times \left(2\right)}{\left(2x-2\right)^{2} }
    u(x)=6x6(6x+8)(2x2)2u'\left(x\right)=\frac{6x-6-\left(6x+8\right)}{\left(2x-2\right)^{2} }
    u(x)=6x66x8(2x2)2u'\left(x\right)=\frac{6x-6-6x-8}{\left(2x-2\right)^{2} }
    u(x)=14(2x2)2u'\left(x\right)=\frac{-14}{\left(2x-2\right)^{2} }

    Nous allons pouvoir calculer, maintenant, la dérivée de ff.
    On reconnaît la forme (ln(u))=uu\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u} avec u(x)=3x+42x2u\left(x\right)=\frac{3x+4}{2x-2} et u(x)=14(2x2)2u'\left(x\right)=\frac{-14}{\left(2x-2\right)^{2} }
    Ainsi :
    f(x)=(14(2x2)2)(3x+42x2)f'\left(x\right)=\frac{\left(\frac{-14}{\left(2x-2\right)^{2} } \right)}{\left(\frac{3x+4}{2x-2} \right)}
  • (ab)(cd)=ab×dc\frac{\left(\frac{a}{b} \right)}{\left(\frac{c}{d} \right)} =\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
  • f(x)=14(2x2)2×2x23x+4f'\left(x\right)=\frac{-14}{\left(2x-2\right)^{2} } \times \frac{2x-2}{3x+4}
    f(x)=14(2x2)×(2x2)×2x23x+4f'\left(x\right)=\frac{-14}{\left(2x-2\right)\times \left(2x-2\right)} \times \frac{2x-2}{3x+4}
    f(x)=142x2×13x+4f'\left(x\right)=\frac{-14}{2x-2} \times \frac{1}{3x+4}
    f(x)=14(2x2)(3x+4)f'\left(x\right)=\frac{-14}{\left(2x-2\right)\left(3x+4\right)}