Une suite
(un) est croissante si et seulement :
un+1−un>0 autrement dit
un+1>un.
D'après la question
4, on sait que :
u0=0 et
u1=2On remarque que
u1>u0.
On conjecture que la suite
(un) est croissante.
Il faut donc démontrer cette conjecture par récurrence
Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un+1>unEtape d'initialisationOn a vu précédemment que
u1>u0.
La propriété
P0 est vraie.
Etape d'héréditéSoit
k un entier naturel.
On suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire :
uk+1>uk et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire :
uk+2>uk+1Par hypothèse de récurrence,
uk+1>uk , or
f une fonction strictement croissante sur [−∞;+∞[ , ainsi :
f(uk+1)>f(uk) . Or
f(uk)=uk+1. Ce qui donne :
uk+2>uk+1Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, la suite
(un) est
croissante.