La fonction exponentielle

Exercices types : partie 2

Exercice 1

PARTIE A
On considère la fonction gg définie sur [0;+[\left[0;+\infty \right[ par g(x)=exx1g\left(x\right)=e^{x} -x-1
1

Etudier le sens de variation de la fonction gg sur [0;+[\left[0;+\infty \right[.

Correction
2

Déterminer le signe de g(x)g\left(x\right) suivant les valeurs de xx.

Correction
3

En déduire que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [0;+[\left[0;+\infty \right[, on a : exx>0e^{x} -x>0

Correction
PARTIE B
On considère la fonction définie sur [0;1]\left[0;1 \right] par : f(x)=ex1exxf\left(x\right)=\frac{e^{x} -1}{e^{x} -x}. On nomme CfC_{f} la courbe représentative de la fonction ff.
On admet que ff est strictement croissante sur [0;1]\left[0;1 \right]
4

Montrer que pour tout xx appartenant à [0;1]\left[0;1 \right], on a f(x)[0;1]f\left(x\right)\in \left[0;1\right].

Correction
Soit (D)\left(D\right) la droite d'équation y=xy=x.
5

Montrer que pour tout xx appartenant à l'intervalle [0;1]\left[0;1\right], on a : f(x)x=(1x)g(x)exxf\left(x\right)-x=\frac{\left(1-x\right)g\left(x\right)}{e^{x} -x}

Correction
6

Etudier la position relative de la droite (D)\left(D\right) et de la courbe CfC_{f} sur l'intervalle [0;1]\left[0;1 \right].

Correction
PARTIE C.
On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par u0=12u_{0} =\frac{1}{2} et un+1=f(un)u_{n+1} =f\left(u_{n}\right).
7

Montrer, que pour tout entier naturel nn, on a : 12unun+11\frac{1}{2}\le u_{n}\le u_{n+1}\le 1

Correction
8

En déduire que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente et déterminer sa limite.

Correction

Exercice 2

Une chaîne, suspendue entre deux points d’accroche de même hauteur peut être modélisée par la représentation graphique d’une fonction gg définie sur [1;1]\left[-1;1 \right] par g(x)=12a(eax+eax)g\left(x\right)=\frac{1}{2a} \left(e^{ax} +e^{-ax} \right)aa est un paramètre réel strictement positif. On ne cherchera pas à étudier la fonction gg.
On montre en sciences physiques que, pour que cette chaîne ait une tension minimale aux extrémités, il faut et il suffit que le réel aa soit une solution strictement positive de l’équation : (x1)e2xx1=0\left(x-1\right)e^{2x} -x-1=0.
Dans la suite de l'exercice , on définit sur [0;+[\left[0;+\infty \right[ la fonction ff par f(x)=(x1)e2xx1f\left(x\right)=\left(x-1\right)e^{2x} -x-1.
1

Déterminer la fonction dérivée de la fonction ff.

Correction
2

Calculer f(0)f'\left(0\right) et limx+f(x)\lim_{x\to +\infty } f'\left(x\right).

Correction
On note ff'' la dérivée de la fonction ff'.
3

Montrer que pour tout xx appartenant à [0;+[\left[0;+\infty \right[ on a : f(x)=4xe2xf''\left(x\right)=4xe^{2x}. Donner ensuite les variations de la fonction ff'.

Correction
4

Démontrez que l'équation f(x)=0f'\left(x\right)=0 admet une unique solution α[0;+[\alpha \in \left[0;+\infty \right[.
Donnez un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
5

En déduire le signe de ff' sur l'intervalle [0;+[\left[0;+\infty \right[.

Correction
6

Déterminer le sens de variation de la fonction ff sur l’intervalle [0;+[\left[0;+\infty \right[ puis montrer que f(x)f\left(x\right) est négatif pour tout réel xx appartenant à l’intervalle [0;α]\left[0;\alpha\right].

Correction
7

Calculer f(2)f\left(2\right).

Correction
8

En déduire que sur l’intervalle [0;+[\left[0;+\infty \right[, la fonction ff s’annule pour une unique valeur. Si l’on note aa cette valeur, déterminer à l’aide de la calculatrice la valeur de aa arrondie au centième.

Correction

Exercice 3

Un petit mélange Logarithme et Exponentielle.
Soit ff la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=ln(e2xex)f\left(x\right)=\ln \left(e^{2x} -e^{x} \right)
1

Montrer que pout tout réel x>0x>0, on a : f(x)=2x+ln(1ex)f\left(x\right)=2x+\ln \left(1-e^{-x} \right).

Correction
2

Montrer que pour tout réel x>0x>0, on a : f(x)=x+ln(ex1)f\left(x\right)=x+\ln \left(e^{x} -1\right).

Correction
Choisir la forme la mieux adaptée de f(x)f\left(x\right) pour déterminer :
3

La limite de ff en ++\infty.

Correction
4

La limite de ff en 00. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction
5

la position de la courbe représentative de ff par rapport à la droite d’équation y=xy = x.

Correction
6

la dérivée de ff et les variations de ff.

Correction
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