La fonction exponentielle

Exercices types : partie 1

Exercice 1

Soit gg la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par g(x)=(x+1)e2x+3g\left(x\right)=\left(-x+1\right)e^{2x} +3
1

Calculer les limites de gg en -\infty et ++\infty .

Correction
2

Etudiez les variations de gg

Correction
3

Démontrez que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution αR\alpha \in \mathbb{R}.
Donnez un encadrement de α\alpha à  10210^{-2} près.

Correction
4

En déduire le signe de gg sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[

Correction
Soit ff la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=(x+32)e2x+6x1f\left(x\right)=\left(-x+\frac{3}{2} \right)e^{2x} +6x-1 .
5

Démontrer que, pour tout réel xx, f(x)f'\left(x\right) s'exprime en fonction de g(x)g\left(x\right).

Correction
6

Etudier le sens de variations de la fonction ff (les limites de la fonction ff ne sont pas demandées).

Correction

Exercice 2

Soit gg la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par g(x)=ex+x+1g\left(x\right)=e^{x} +x+1 .
1

Calculer les limites de gg en -\infty et ++\infty .

Correction
2

Etudiez les variations de gg.

Correction
3

Démontrez que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution αR\alpha \in \mathbb{R}.
Donnez un encadrement de α\alpha à  10210^{-2} près.

Correction
4

En déduire le signe de gg sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction
Soit ff la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[par f(x)=xexex+1f\left(x\right)=\frac{xe^{x} }{e^{x} +1} .
5

Démontrer que, pour tout réel xx, f(x)=exg(x)(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} g\left(x\right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} } .

Correction
6

Etudier le sens de variations de la fonction ff (les limites de la fonction ff ne sont pas demandées).

Correction

Exercice 3

Soit ff la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=(4x+1)e2xf\left(x\right)=\left(4x+1\right)e^{-2x} .
On note (C)\left(C\right) sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
1

Déterminer la limite de ff en -\infty .

Correction
2

En écrivant l'expression de f(x)f\left(x\right) sous la forme f(x)=2×2xex+1e2xf\left(x\right)=2\times \frac{2x}{e^{x} } +\frac{1}{e^{2x} } , déterminer la limite de ff en ++\infty .

Correction
3

En déduire que (C)\left(C\right) admet une asymptote horizontale que l'on précisera.

Correction
4

Etudier les variations de ff puis dresser son tableau de variation.

Correction
5

Déterminer une équation de la tangente à (C)\left(C\right) au point d'abscisse 32\frac{3}{2} .

Correction

Exercice 4

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} {1}-\left\{1\right\} par f(x)=ex1xf(x)=\frac{e^{x} }{1-x} .
1

Justifier tous les éléments qui figurent dans le tableau de variation de ff.

Correction

Exercice 5

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x2+x+1)ex1f\left(x\right)=\left(x^{2} +x+1\right)e^{-x} -1
1

Calculer les limites de ff en -\infty et ++\infty.

Correction
2

Etudier le sens de variation de ffpuis dresser son tableau de variation.

Correction
3

Démontrer que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet deux solutions dans R\mathbb{R}, dont l'une dans l'intervalle [1;+[\left[1;+\infty \right[, qui sera notée α\alpha .

Correction
4

Déterminer un encadrement d'amplitude 10210^{-2} de α\alpha.

Correction
5

En déduire le signe de f(x)f\left(x\right) sur R\mathbb{R}.

Correction

Exercice 6

On considère la fonction ff définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=2ex+ax+bf\left(x\right)=2e^{x} +ax+b.
On note (C)\left(C\right) sa représentation graphique dans un repère orthonormal.
1

Déterminer les réels aa et bb pour que les deux conditions suivantes soient réalisées
  • la courbe (C)\left(C\right) passe par l'origine OO
  • la tangente à la courbe (C)\left(C\right) en OO a pour coefficient directeur 33

Correction
2

Déterminer l'équation de la tangente TT à  la courbe Γ\Gamma , au point d'abscisse 00, de la fonction gg définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[par g(x)=2ex+x2g\left(x\right)=2e^{x} +x-2.

Correction
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