D'après l'énoncé, nous savons que :
f′′(x)=101u(x)eu(x)(1+u(x)).
Pour tout
x∈[0;+∞[, nous vérifions aisément que
101>0 et
eu(x)>0.
Il en résulte que le signe de
f′′ dépend alors de
u(x)(1+u(x)).
D'après la question
1, nous avons vu que
u(x)<0.
Nous allons maintenant déterminer sur quel intervalle
1+u(x)≥0 et ensuite nous allons dresser le tableau de signe de
f′′.
1+u(x)≥0⇔u(x)≥−1⇔−e2−10x≥−1⇔e2−10x≤1⇔e2−10x≤e0Ainsi :
2−10x≤0⇔−10x≤−2⇔x≥20Finalement :
f′′(x)>0 sur
[0;20] et
f′′(x)<0 sur
[20;+∞[.
f′ est donc croissante sur
[0;20] et décroissante sur
[20;+∞[.
Nous en déduisons le tableau de variation ci-dessous :