Commençons, tout d’abord, par calculer
u1.
u0+1=f(u0) ou encore
u1=f(21) Ainsi :
u1=e21−21e21−1≈0,56.
Raisonnons par récurrence.
Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:21≤un≤un+1≤1Etape d'initialisationOn a vu précédemment que
u1=e21−21e21−1≈0,56.
On remarque que
21≤u0≤u1≤1La propriété
P0 est vraie.
Etape d'héréditéSoit
k un entier naturel.
On suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire :
21≤uk≤uk+1≤1 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire :
21≤uk+1≤uk+2≤1.
Par hypothèse de récurrence,
21≤uk≤uk+1≤1 , or
f est une fonction croissante sur [0;1] , ainsi :
f(21)≤f(uk)≤f(uk+1)≤f(1) . Comme
uk+1=f(uk) alors :
f(uk+1)=uk+2 . Il vient alors que :
f(21)≤uk+1≤uk+2≤f(1) . Or :
f(1)=1 et
f(21)=e21−21e21−1≈0,56.
D'où :
21≤e21−21e21−1≤uk+1≤uk+2≤1Il en résulte donc que :
21≤uk+1≤uk+2≤1 Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n :
21≤un≤un+1≤1.