La fonction exponentielle

Exercices types : 1ère partie - Exercice 1

35 min
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Soit gg la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par g(x)=(x+1)e2x+3g\left(x\right)=\left(-x+1\right)e^{2x} +3
Question 1

Calculer les limites de gg en -\infty et ++\infty .

Correction
Calculons limx+(x+1)e2x+3\lim\limits_{x\to +\infty } \left(-x+1\right)e^{2x} +3
limx+x+1=limx+e2x=+}par produitlimx+(x+1)e2x=\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -x+1} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{2x} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par produit}}\lim\limits_{x\to +\infty } \left(-x+1\right)e^{2x} =-\infty
Finalement :
limx+(x+1)e2x+3=\lim\limits_{x\to +\infty } \left(-x+1\right)e^{2x} +3=-\infty

Calculons limx(x+1)e2x+3\lim\limits_{x\to -\infty } \left(-x+1\right)e^{2x} +3
limxx+1=+limxe2x=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -x+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{2x} } & {=} & {0} \end{array}\right\} On rencontre ici une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, on développe l'expression.
On a alors :
limx(x+1)e2x+3=limxxe2x+e2x+3\lim\limits_{x\to -\infty } \left(-x+1\right)e^{2x} +3=\lim\limits_{x\to -\infty } -xe^{2x} +e^{2x} +3
limxxe2x=0limxe2x+3=3}par sommelimxxe2x+e2x+3=3\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -xe^{2x} } & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{2x} +3} & {=} & {3} \end{array}\right\}{\text{par somme}}\lim\limits_{x\to -\infty } -xe^{2x} +e^{2x} +3=3
Finalement :
limx(x+1)e2x+3=3\lim\limits_{x\to -\infty } \left(-x+1\right)e^{2x} +3=3

La courbe CgC_{g} admet une asymptote horizontale d'équation y=3y=3
Question 2

Etudiez les variations de gg.

Correction
Soit g(x)=(x+1)e2x+3g\left(x\right)=\left(-x+1\right)e^{2x} +3.
gg est dérivable sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[
Ici on reconnaît la forme (uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=x+1u\left(x\right)=-x+1 et v(x)=e2xv\left(x\right)=e^{2x} .
On note w(x)=3w\left(x\right)=3
Ainsi : u(x)=1u'\left(x\right)=-1 et v(x)=2e2xv'\left(x\right)=2e^{2x} , enfin w(x)=0w'\left(x\right)=0
Il vient alors que :
g(x)=e2x+(x+1)(2e2x)g'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x+1\right)\left(2e^{2x} \right)
g(x)=e2x+(x)×2e2x+1×2e2xg'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x\right)\times 2e^{2x} +1\times 2e^{2x}
g(x)=e2x2xe2x+2e2xg'\left(x\right)=-e^{2x} -2xe^{2x} +2e^{2x}
g(x)=2xe2x+e2xg'\left(x\right)=-2x{\color{blue}{e^{2x}}} +{\color{blue}{e^{2x}}}
Ainsi :
g(x)=e2x(2x+1)g'\left(x\right)={\color{blue}{e^{2x}}} \left(-2x+1\right)

Pour tout réel xx, on a e2x>0e^{2x} >0.
2x+102x1x12x12-2x+1\ge 0\Leftrightarrow -2x\ge -1\Leftrightarrow x\le \frac{-1}{-2} \Leftrightarrow x\le \frac{1}{2}
Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 2x+1-2x+1 lorsque xx sera inférieur ou égale à 12\frac{1}{2}.
On en déduit le tableau de variation suivant :
De plus : g(12)=12e+3g\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2} e+3
Question 3

Démontrez que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution αR\alpha \in \mathbb{R}.
Donnez un encadrement de α\alpha à  10210^{-2} près.

Correction
Sur ];12]\left]-\infty ;\frac{1}{2} \right], la fonction gg est continue et admet 33 comme minimum.
La fonction gg est strictement positive.
Donc l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur [12;+[\left[\frac{1}{2} ;+\infty \right[, la fonction gg est continue et strictement décroissante.
De plus, g(12)=12e+3g\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2} e+3 et limx+g(x)=\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=-\infty .
Or 0];12e+3]0\in \left]-\infty ;\frac{1}{2} e+3\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha dans R\mathbb{R} tel que g(x)=0g\left(x\right)=0.
A la calculatrice, on vérifie que :
g(1,24)0,134g\left(1,24\right)\approx 0,134 et g(1,25)0,045g\left(1,25\right)\approx -0,045 .
Or 0]0,045;0,134]0\in \left]-0,045;0,134\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :
1,24α1,251,24\le \alpha \le 1,25
Question 4

En déduire le signe de gg sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[

Correction
Sur ];12]\left]-\infty ;\frac{1}{2} \right], la fonction gg est continue et admet 33 comme minimum.
La fonction gg est strictement positive.
Sur [12;+[\left[\frac{1}{2} ;+\infty \right[, la fonction gg est continue et strictement décroissante et g(α)=0g\left(\alpha \right)=0.
Donc g(x)0g\left(x\right)\ge 0 pour tout x[12;α]x\in \left[\frac{1}{2} ;\alpha \right] et g(x)0g\left(x\right)\le 0 pour tout x[α;+[x\in \left[\alpha ;+\infty \right[.
On résume cela dans un tableau de signe :
Question 5
Soit ff la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=(x+32)e2x+6x1f\left(x\right)=\left(-x+\frac{3}{2} \right)e^{2x} +6x-1 .

Démontrer que, pour tout réel xx, f(x)f'\left(x\right) s'exprime en fonction de g(x)g\left(x\right).

Correction
Soit f(x)=(x+32)e2x+6x1f\left(x\right)=\left(-x+\frac{3}{2} \right)e^{2x} +6x-1 .
ff est dérivable sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ .
Ici on reconnaît la forme (uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=x+32u\left(x\right)=-x+\frac{3}{2} et v(x)=e2xv\left(x\right)=e^{2x} .
On note w(x)=6x1w\left(x\right)=6x-1 . Ainsi u(x)=1u'\left(x\right)=-1 et v(x)=2e2xv'\left(x\right)=2e^{2x} , enfin w(x)=6w'\left(x\right)=6
Il vient alors que :
f(x)=e2x+(x+32)(2e2x)+6f'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x+\frac{3}{2} \right)\left(2e^{2x} \right)+6
f(x)=e2x+(x)×(2e2x)+32×(2e2x)+6f'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x\right)\times \left(2e^{2x} \right)+\frac{3}{2} \times \left(2e^{2x} \right)+6
f(x)=e2x2xe2x+3e2x+6f'\left(x\right)=-e^{2x} -2xe^{2x} +3e^{2x} +6
f(x)=2e2x2xe2x+6f'\left(x\right)=2e^{2x} -2xe^{2x} +6
Ainsi : f(x)=e2x(2x+2)+6f'\left(x\right)=e^{2x} \left(-2x+2\right)+6.
On va maintenant factoriser ff'par 22.
On obtient :
f(x)=2e2x(x+1)+3×2f(x)=2[e2x(x+1)+3]f'\left(x\right)={\color{blue}{2}}e^{2x} \left(-x+1\right)+3\times {\color{blue}{2}}\Leftrightarrow f'\left(x\right)={\color{blue}{2}}\left[e^{2x} \left(-x+1\right)+3\right]
Il en résulte que :
f(x)=2g(x)f'\left(x\right)={\color{blue}{2}}g\left(x\right)
Question 6

Etudier le sens de variations de la fonction ff (les limites de la fonction ff ne sont pas demandées).

Correction
Comme f(x)=2g(x)f'\left(x\right)=2g\left(x\right), il en résulte que le signe de ff' est le même que celui de gg.
D'après la question 44, nous avons vu que :
On en déduit facilement le tableau de variation de la fonction ff :