La fonction exponentielle

Exercice 8 - Exercice 1

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Question 1
Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 11er janvier 20002000 et le 11er janvier 20102010 afin d’évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe. Au 11er janvier 20002000, un ménage sur huit était équipé d’une connexion internet fixe et, au 11er janvier 20102010, 64%64\% des ménages l’étaient.
Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonction gg définie sur l’intervalle [0;+∞[\left[0; +\infty \right[ par : g(t)=11+ke−atg\left(t\right)=\frac{1}{1+ke^{-at} } , où kk et aa sont deux constantes réelles positives et la variable tt désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le 11er janvier 20002000.

Déterminer les valeurs exactes de kk et de aa pour que g(0)=18g\left(0\right)=\frac{1}{8} et g(10)=64100g\left(10\right)=\frac{64}{100} .

Correction
D'une part :
g(0)=18⇔11+ke−0=18⇔11+k=18g\left(0\right)=\frac{1}{8} \Leftrightarrow \frac{1}{1+ke^{-0} } =\frac{1}{8} \Leftrightarrow \frac{1}{1+k} =\frac{1}{8} . Nous allons passer à l'inverse. Il vient alors que :
k+1=8⇔k+1=8\Leftrightarrow
k=7k=7

D'autre part :
g(10)=64100⇔11+ke−10a=64100g\left(10\right)=\frac{64}{100} \Leftrightarrow \frac{1}{1+ke^{-10a} } =\frac{64}{100} . Or nous savons que : k=7k=7 . Il vient alors que :
11+7e−10a=64100\frac{1}{1+7e^{-10a} } =\frac{64}{100}
64(1+7e−10a)=10064\left(1+7e^{-10a} \right)=100
64+448e−10a=10064+448e^{-10a} =100
448e−10a=36448e^{-10a} =36
e−10a=36448e^{-10a} =\frac{36}{448}
e−10a=9112e^{-10a} =\frac{9}{112}
ln⁡(e−10a)=ln⁡(9112)\ln \left(e^{-10a} \right)=\ln \left(\frac{9}{112} \right)
−10a=ln⁡(9112)-10a=\ln \left(\frac{9}{112} \right)
a=−110ln⁡(9112)a=-\frac{1}{10} \ln \left(\frac{9}{112} \right)
a≈0,252a\approx 0,252

Question 2
Dans la suite, on prendra k=7k =7 et a=0,25a=0,25. La fonction gg est donc définie par : g(t)=11+7e−t4g\left(t\right)=\frac{1}{1+7e^{-\frac{t}{4}} }

Montrer que la fonction gg est croissante sur l’intervalle [0;+∞[\left[0; +\infty \right[ .

Correction
La fonction gg est dérivable sur [0;+∞[\left[0; +\infty \right[.
On reconnaît la forme (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} } avec v(t)=1+7e−t4v\left(t\right)=1+7e^{-\frac{t}{4}}
Ainsi : v′(t)=7×(−14)e−t4v'\left(t\right)=7\times \left(\frac{-1}{4}\right)e^{-\frac{t}{4}}.
Il vient alors que :
g′(t)=−(7×(−14)e−t4)(1+7e−t4)2g'\left(t\right)=\frac{-\left(7\times \left(\frac{-1}{4}\right)e^{-\frac{t}{4}}\right)}{\left(1+7e^{-\frac{t}{4}} \right)^{2} }
g′(t)=74e−t4(1+7e−t4)2g'\left(t\right)=\frac{\frac{7}{4} e^{-\frac{t}{4} } }{\left(1+7e^{-\frac{t}{4} } \right)^{2} }

Or, on vérifie facilement que 74e−t4>0\frac{7}{4} e^{-\frac{t}{4} }>0 et (1+7e−t4)2>0\left(1+7e^{-\frac{t}{4} } \right)^{2}>0. Il en résulte donc que pour tout réel tt appartenant à [0;+∞[\left[0; +\infty \right[, on a : g′(t)>0g'\left(t\right)>0.
Question 3

Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu’un jour, au moins 99%99\% des ménages de cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe? Justifier la réponse.

Correction
Nous devons résoudre l'inéquation g(t)≥0,99g\left(t\right)\ge 0,99. Soit :
11+7e−t4≥0,99\frac{1}{1+7e^{-\frac{t}{4} } } \ge 0,99
1≥0,99+0,693e−t41\ge 0,99+0,693e^{-\frac{t}{4} }
−0,693e−t4≥0,99−1-0,693e^{-\frac{t}{4} } \ge 0,99-1
−0,693e−t4≥−0,01-0,693e^{-\frac{t}{4} } \ge -0,01
e−t4≤−0,01−0,693e^{-\frac{t}{4} } \le \frac{-0,01}{-0,693}
e−t4≤10693e^{-\frac{t}{4} } \le \frac{10}{693}
ln⁡(e−t4)≤ln⁡(10693)\ln \left(e^{-\frac{t}{4} } \right)\le \ln \left(\frac{10}{693} \right)
−t4≤ln⁡(10693)-\frac{t}{4} \le \ln \left(\frac{10}{693} \right)
t≥ln⁡(10693)×(−4)t\ge \ln \left(\frac{10}{693} \right)\times \left(-4\right)
t≥ln⁡(10693)×(−4)t\ge \ln \left(\frac{10}{693} \right)\times \left(-4\right)
Or : ln⁡(10693)×(−4)≈16,9\ln \left(\frac{10}{693} \right)\times \left(-4\right)\approx 16,9
Donc dans 1717 ans d’après ce modèle au moins 99%99\% des ménages seront équipés.
Question 4

Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d’une connexion internet fixe au 11er janvier 20182018.

Correction
L'année 20182018 correspond au rang t=18t=18 .
On a : g(18)=11+7e−184g\left(18\right)=\frac{1}{1+7e^{-\frac{18}{4}} } ce qui nous donne : g(18)≈0,923g\left(18\right)\approx 0,923.
Au 11er janvier 20182018, 93%93\% des foyers seraient équipés d'une connexion à internet.
Question 5

Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certains statisticiens pensent que la modélisation par la fonction gg de l’évolution de la proportion de ménages possédant une connexion internet fixe doit être remise en cause. Au début de l’année 20182018 un sondage a été effectué. Sur 10001000 foyers, 880880 étaient équipés d’une connexion fixe. Ce sondage donne-t-il raison à ces statisticiens sceptiques? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\%.)

Correction
Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30n\ge 30 , np≥5np\ge 5 et n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5 . D'après la question 44, nous avons p=0,93p=0,93 et d'après l'énoncé de la question 55, on a n=1000n=1000.
  • 1000≥301000\ge 30 donc n≥30n\ge 30
  • 1000×0,93=9301000\times 0,93=930 donc np≥5np\ge 5
  • 1000×(1−0,93)=701000\times \left(1-0,93\right)=70 donc n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% .
On a alors :
I=[p−1,96×p×(1−p)n;p+1,96×p×(1−p)n]I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]
I=[0,93−1,96×0,93×(1−0,93)1000;0,93+1,96×0,93×(1−0,93)1000]I=\left[0,93-1,96\times \frac{\sqrt{0,93\times \left(1-0,93\right)} }{\sqrt{1000} } ;0,93+1,96\times \frac{\sqrt{0,93\times \left(1-0,93\right)} }{\sqrt{1000} } \right]
I=[0,914;0,946].I=\left[0,914;0,946\right] .
Ici 0,9140,914 est une valeur approchée par défaut de 0,93−1,96×0,93×(1−0,93)10000,93-1,96\times \frac{\sqrt{0,93\times \left(1-0,93\right)} }{\sqrt{1000} }
Ici 0,9460,946 est une valeur approchée par excès de 0,93+1,96×0,93×(1−0,93)10000,93+1,96\times \frac{\sqrt{0,93\times \left(1-0,93\right)} }{\sqrt{1000} }
Or le sondage donne une fréquence de foyers équipés d’une connexion fixe égale à : fobs=88100≈0,88f_{obs} =\frac{88}{100} \approx 0,88
Or fobs∉[0,914;0,946]f_{obs} \notin \left[0,914;0,946\right].
Ce sondage donne raison à ces statisticiens sceptiques.