La fonction exponentielle

Exercice 7 - Exercice 1

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Sur le graphique ci-dessous, CC est la courbe représentative, dans le repère orthonormé (O;i⃗;j⃗)\left(O;\vec{i} ;\vec{j} \right) d'une fonction ff définie sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.
Question 1
Partie A - Étude graphique
La droite TT est tangente à CC au point A(2,5;1,5)A\left(2,5; 1,5\right) et d’ordonnée à l’origine 2,752,75. L’axe des abscisses est asymptote horizontale à CC au voisinage de +∞+\infty. Déterminer graphiquement :

f(1)f\left(1\right)

Correction
Graphiquement, on lit :
f(1)=0f\left(1\right)=0
.
Question 2

f′(2,5)f'\left(2,5\right)

Correction
f′(2,5)f'\left(2,5\right) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2,52,5 donc au point AA. Les coordonnées du point AA sont A(2,5;1,5)A\left(2,5;1,5\right)
De plus, le point (5,5;0)\left(5,5;0\right) appartient à cette tangente. Nous allons appelé ce point B(5,5;0)B\left(5,5;0\right)
A l'aide du point AA et du point BB on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente.
f′(2,5)=yB−yAxB−xAf'\left(2,5\right)=\frac{y_{B} -y_{A} }{x_{B} -x_{A} }
f′(2,5)=0−1,55,5−2,5=−12f'\left(2,5\right)=\frac{0-1,5}{5,5-2,5} =-\frac{1}{2}

Question 3

Une équation de la tangente TT.

Correction
Il s'agit ici de l'équation de la tangente au point d'abscisse 2,52,5.
y=f′(2,5)(x−2,5)+f(2,5)y=f'\left(2,5\right)\left(x-2,5\right)+f\left(2,5\right)
y=−12×(x−2,5)+1,5y=-\frac{1}{2} \times \left(x-2,5\right)+1,5
y=−12x+1,25+1,5y=-\frac{1}{2} x+1,25+1,5
y=−12x+2,75y=-\frac{1}{2} x+2,75

Question 4
Partie B-Modélisation On admet qu’il existe deux réels aa et bb tels que , pour tout réel xx, on a : f(x)=(ax+b)e−x+2,5f\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{-x+2,5}

Calculer f′(x)f'\left(x\right) en fonction de aa et bb.

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=ax+bu\left(x\right)=ax+b et v(x)=e−x+2,5v\left(x\right)=e^{-x+2,5} .
Ainsi u′(x)=au'\left(x\right)=a et v′(x)=−e−x+2,5v'\left(x\right)=-e^{-x+2,5} .
Il vient alors que :
f′(x)=ae−x+2,5+(ax+b)×(−e−x+2,5)f'\left(x\right)=ae^{-x+2,5} +\left(ax+b\right)\times \left(-e^{-x+2,5} \right)
f′(x)=ae−x+2,5−axe−x+2,5−be−x+2,5f'\left(x\right)=ae^{-x+2,5} -axe^{-x+2,5} -be^{-x+2,5}
f′(x)=e−x+2,5(a−ax−b)f'\left(x\right)=e^{-x+2,5} \left(a-ax-b\right)

Question 5

Déduire des questions précédentes un système d’équations vérifiées par aa et bb.

Correction
D'une part :
f(1)=0f\left(1\right)=0 ce qui nous donne (a+b)e−1+2,5=0\left(a+b\right)e^{-1+2,5}=0 ou encore (a+b)e1,5=0\left(a+b\right)e^{1,5}=0
Or e1,5≠0e^{1,5}\ne0 ce qui permet de dire que
a+b=0a+b=0

D'autre part :
f′(2,5)=−12f'\left(2,5\right)=-\frac{1}{2} équivaut successivement à :
e−2,5+2,5×(a−2,5a−b)=−12e^{-2,5+2,5} \times\left(a-2,5a-b\right)=-\frac{1}{2}
e0×(a−2,5a−b)=−12e^{0} \times\left(a-2,5a-b\right)=-\frac{1}{2}
−1,5a−b=−12-1,5a-b=-\frac{1}{2}

Question 6

Résoudre ce système et en déduire l’expression de f(x)f\left(x\right) en fonction de xx.

Correction
Il nous faut donc résoudre le système suivant :
{a+b=0−1,5a−b=−12\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {+} & {b} & {=} & {0} \\ {-1,5a} & {-} & {b} & {=} & {-\frac{1}{2}} \end{array}\right. équivaut successivement à :
{a=−b−1,5×(−b)−b=−12\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {-b} \\ {-1,5\times\left(-b\right)} & {-} & {b} & {=} & {-\frac{1}{2}} \end{array}\right.
{a=−b12×b=−12\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {-b} \\ {\frac{1}{2}\times b} & {=} & {-\frac{1}{2}} \end{array}\right.
{a=−bb=−1\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {-b} \\ { b} & {=} & {-1} \end{array}\right.
{a=1b=−1\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {1} \\ { b} & {=} & {-1} \end{array}\right.
Comme f(x)=(ax+b)e−x+2,5f\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{-x+2,5} alors
f(x)=(x−1)e−x+2,5f\left(x\right)=\left(x-1\right)e^{-x+2,5}