Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:en+1>2n+1Etape d'initialisationLorsque
n=0 , on a
e0+1>2×0+1 qui donne
e1>1 .
La propriété
P0 est vraie.
Etape d'héréditéSoit
k un entier naturel.
On suppose qu'à partir d'un certain rang
k, la propriété
Pk est vraie c'est-à-dire
ek+1>2k+1 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
ek+2>2(k+1)+1 ou encore
ek+2>2k+3Par hypothèse de récurrence
ek+1>2k+1 , d'où en multipliant chaque membre par
e:
e×ek+1>e×(2k+1)ek+2>e×(2k+1)Or vérifions si
(2k+1)e>2k+3(2k+1)e>2k+3⇔2k(e−1)>3e⇔k>2(e−1)3−e (1)Or
2(e−1)3−e≈0,08.
L'inégalité
(1) est donc vraie pour
p≥1, donc
(2k+1)e>2k+3 aussi.
ek+2>2k+3Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P5 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien
en+1>2n+1 .