Posons
d une fonction définie sur
R par
d(x)=f0(x)−(41x+21).
Cette fonction nous permettra d'étudier la position relative de la courbe
C0 par rapport à la tangente
T.
d(x)=f0(x)−(41x+21) équivaut successivement à
d(x)=1+exex−(41x+21)d(x)=1+exex−1(41x+21) On va tout mettre au même dénominateur,
d(x)=1+exex−1+ex(41x+21)(1+ex)d(x)=1+exex−(41x+21)(1+ex)d(x)=1+exex−41x−41xex−21−21exd(x)=1+ex44ex−41x−41xex−42−42exd(x)=1+ex41(4ex−x−xex−2−2ex)d(x)=1+ex41(2ex−x−xex−2) d(x)=4(1+ex)2ex−x−xex−2 Le dénominateur
4(1+ex) est strictement positif.
Il en résulte que le signe de
d dépend du numérateur
2ex−x−xex−2.
Ainsi pour étudier la position de la courbe
C0 par rapport à la tangente
T, il suffit d'étudier sur
R le signe de
g(x), où
g(x)=2ex−xex−2−x.