On suppose que la fonction
f s'écrit sous la forme
f(x)=(ax+b)e−x2 où
a et
b sont des réels.
On sait que le point O appartient à
Cf donc
f(0)=0 ce qui équivaut à
(0+b)e0=0 ou encore
.
Donc
f(x) s'écrit
f(x)=axe−x2.
La droite
(OA) est tangente à la courbe
Cf en O, et elle a pour coefficient directeur 2.
Le nombre
f′(0) désigne le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point d'abscisse
0, donc
f′(0)=2.
On commence par calculer la dérivée de
f(x)=axe−x2On reconnait la forme :
(uv)′=u′v+uv′ avec
u(x)=ax et
v(x)=e−x2.
Ainsi
u′(x)=a et
v′(x)=−2xe−x2.
Il vient alors que :
f′(x)=ae−x2+ax(−2xe−x2)f′(x)=e−x2(a−2ax2)Or
f′0)=2, donc
(a−0)e0=2Il en résulte que
f(x)=(2x)e−x2.