La fonction exponentielle

Exercice 4 - Exercice 1

1 min
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Les courbes CfC_{f} et CgC_{g} données ci-dessous sont les représentations graphiques, dans un repère orthonormé (O;i;j)\left(O;\vec{i} ;\vec{j} \right), de deux fonctions ff et gg définies sur [0;+]\left[0;+\infty \right] .
On considère les points A(12;1)A\left(\frac{1}{2} ;1\right) et B(0;1)B\left(0;-1\right) dans le repère orthonormé (O;i;j)\left(O;\vec{i} ;\vec{j} \right).
On sait que l'origine du repère appartient à CfC_{f} et que la droite (OA)\left(OA\right) est tangente à CfC_{f} au point O.
Question 1

On suppose que la fonction ff s'écrit sous la formef(x)=(ax+b)ex2f\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{-x^{2} } aa et bb sont des réels.
Déterminer les valeurs exactes des réels aa etbb, en détaillant la démarche.

Correction
On suppose que la fonction ff s'écrit sous la forme f(x)=(ax+b)ex2f\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{-x^{2} } aa et bb sont des réels.
On sait que le point O appartient à CfC_{f} donc f(0)=0f\left(0\right)=0 ce qui équivaut à (0+b)e0=0\left(0+b\right)e^{0} =0 ou encore
b=0b=0
.
Donc f(x)f(x) s'écrit f(x)=axex2f(x)=axe^{-x^{2} } .
La droite(OA)\left({\text OA}\right) est tangente à la courbe CfC_{f} en O, et elle a pour coefficient directeur 2.
Le nombre f(0)f'\left(0\right) désigne le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point d'abscisse 00, donc f(0)=2f'\left(0\right)=2.
On commence par calculer la dérivée de f(x)=axex2f(x)=axe^{-x^{2} }
On reconnait la forme : (uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=axu\left(x\right)=ax et v(x)=ex2v\left(x\right)=e^{-x^{2} } .
Ainsi u(x)=au'\left(x\right)=a et v(x)=2xex2v'\left(x\right)=-2xe^{-x^{2} } .
Il vient alors que : f(x)=aex2+ax(2xex2)f'\left(x\right)=ae^{-x^{2} } +ax\left(-2xe^{-x^{2} } \right)
f(x)=ex2(a2ax2)f'(x)=e^{-x^{2} } \left(a-2ax^{2} \right)
Or f0)=2f'0)=2, donc
(a0)e0=2(a-0)e^{0} =2
a=2a=2

Il en résulte que f(x)=(2x)ex2f\left(x\right)=\left(2x\right)e^{-x^{2} } .
Question 2

Désormais, on considère que f(x)=(2x)ex2f(x)=\left(2x\right)e^{-x^{2} } pour tout xx appartenant à [0;  +[\left[{\text 0;\; }+\infty \right[.
On admettra que, pour tout réel xx strictement positif, f(x)=2x×x2ex2f\left(x\right)=\frac{2}{x} \times \frac{x^{2} }{e^{x^{2} } } .
Calculer limx+f(x)\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right).

Correction
On admettra que pour tout réel xx strictement positif, f(x)=2x×x2ex2f(x)=\frac{2}{x} \times \frac{x^{2} }{e^{x^{2} } }
On pose X=x2X=x^{2} ainsi x2ex2=XeX\frac{x^{2} }{e^{x^{2} } } =\frac{X}{e^{X} }
Lorsque xx tend vers ++\infty alors x2x^{2} tend également vers++\infty .
Ce qui signifie que XX tend également vers ++\infty .
Or d'après les formules de cours, on sait que limX+XeX=0\lim\limits_{X\to +\infty } \frac{X}{e^{X} } =0 ainsi limx+x2ex2=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} }{e^{x^{2} } } =0.
limx+x2ex2=0limx+2x=0}\left. \begin{array}{l} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} }{e^{x^{2} } } =0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x} =0} \end{array}\right\} donc par produit limx+2x×x2ex2=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x} \times \frac{x^{2} }{e^{x^{2} } } =0
Finalement limx+f(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } f(x)=0.
La courbe CfC_{f} admet une asymptote horizontale d'équation y=0y=0 au voisinage de ++\infty .
Question 3

Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction ff sur [0;  +[\left[{\text 0;\; }+\infty \right[.

Correction
La fonction ff est dérivable sur [0;+[\left[0;+\infty \right[ et on a déjà vu que f(x)=(a2ax2)ex2=(24x2)ex2f'(x)=\left(a-2ax^{2} \right)e^{-x^{2} } =\left(2-4x^{2} \right)e^{-x^{2} } puisque a=2a=2.
Pour tout x,ex2>0x,e^{-x^{2} } >0 donc a=2a=2 est du signe de 24x22-4x^{2} .
On utilise le discriminant pour déterminer les racines de 24x22-4x^{2} et on obtient x1=22x_{1} =-\frac{\sqrt{2} }{2} et x2=22x_{2} =\frac{\sqrt{2} }{2} .
Comme a=4<0a=-4<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :
Question 4

La fonction gg dont la courbe représentative CgC_{g} passe par le point B(0;1)B\left(0;-1\right) est une primitive de la fonction ff sur [0;  +[\left[{\text 0;\; }+\infty \right[.
Déterminer l'expression de g(x)g(x)

Correction
On sait que la dérivée de xeu(x)x\mapsto e^{u(x)} est xu×eu(x)x\mapsto u'\times e^{u(x)} , donc une primitive de xu×eu(x)x\mapsto u'\times e^{u(x)} est xeu(x)x\mapsto e^{u(x)} .
Donc la fonction x2x×ex2x\mapsto -2x\times e^{-x^{2} } a pour primitive la fonction xex2x\mapsto e^{-x^{2} } donc une primitive de la fonction ff est gg définie par g(x)=ex2+kg\left(x\right)=-e^{-x^{2} } +kkRk\in R (reprenez les vidéos sur les primitives pour vous aider au cas où).
CgC_{g} passe par le point B(0;1){\text B}\left(0;-1\right), donc g(0)=1g(0)=-1, ce qui équivaut à e0+k=1-{\text e}^{{\text 0}} +k=-1 donc k=0k=0
La primitive de ff dont la courbe représentative passe par le point BB est donc la fonction gg définie sur[0;+[\left[0;+\infty \right[ par g(x)=ex2g\left(x\right)=-e^{-x^{2} } .
Question 5

Soit mm un réel strictement positif.
CalculerIm=0mf(t)dtI_{m} =\int _{0}^{m}f\left(t\right)dt en fonction de mm.

Correction
Soit mm un réel strictement positif.
Im=0mf(t)dtI_{m} =\int _{0}^{m}f\left(t\right)dt équivaut successivement à
Im=g(m)g(0)I_{m} =g\left(m\right)-g\left(0\right)
Im=em2(1)I_{m} =-e^{-m^{2} } -\left(-1\right)
Im=1em2I_{m} =1-e^{-m^{2} }
Question 6

Déterminerlimm+Im\lim\limits_{m\to +\infty } I_{m} .

Correction
Il vient :
limm+Im=limm+1em2\lim\limits_{m\to +\infty } I_{m} =\lim\limits_{m\to +\infty } 1-e^{-m^{2} } équivaut successivement à
limm+Im=limm+11em2\lim\limits_{m\to +\infty } I_{m} =\lim\limits_{m\to +\infty } 1-\frac{1}{e^{m^{2} } } or limm+1em2=0\lim\limits_{m\to +\infty } \frac{1}{e^{m^{2} } } =0
Ainsi limm+Im=1\lim\limits_{m\to +\infty } I_{m} =1
Question 7

Justifier que ff est une fonction densité de probabilité sur [0;+[\left[0;+\infty \right[.

Correction
f(x)=(2x)ex2f\left(x\right)=\left(2x\right)e^{-x^{2} }
La fonction ff est :
  • Continue sur [0;  +[\left[{\text 0;\; }+\infty \right[ comme composée de produit de fonctions continues sur [0;+[\left[0;+\infty \right[
  • Positive sur[0;+[\left[0;+\infty \right[ car sur [0;  +[\left[{\text 0;\; }+\infty \right[ on a : 2x02x\ge0 et ex2>0e^{-x^{2} } >0.
  • Telle quelimm+0mf(t)dt=1\lim\limits_{m\to +\infty } \int _{0}^{m}f(t)dt=1 (vu à la question 5)

Donc ff est une fonction densité de probabilité sur [0;+[\left[0;+\infty \right[.
Question 8

Soit XX une variable aléatoire continue qui admet la fonction ff comme densité de probabilité.
Justifier que, pour tout réel xx de [0;+[\left[0;+\infty \right[
P(Xx)=g(x)+1.P\left(X\le x\right)=g(x)+1.

Correction
Soit XX une variable aléatoire continue qui admet la fonction ff comme densité de probabilité.
Pour tout xx de II, P(Xx)=0xf(t)dt=g(x)g(0)P\left(X\le x\right)=\int _{0}^{x}f(t)dt =g(x)-g(0).
Or g(0)=e0=1g(0)=-e^{0} =-1, donc P(Xx)=g(x)+1P\left(X\le x\right)=g(x)+1.
Question 9

En déduire la valeur exacte du réel α\alpha tel que P(Xα)=0,5.P(X\le \alpha )=0,5.

Correction
Soit α\alpha le réel tel que P(Xα)=0,5.P(X\le \alpha )=0,5.
P(Xα)=0,5P(X\le \alpha )=0,5 équivaut successivement à
g(α)+1=0,5g(\alpha )+1=0,5
g(α)=0,5g(\alpha )=-0,5
eα2=0,5-e^{-\alpha ^{2} } =-0,5
eα2=0,5e^{-\alpha ^{2} } =0,5
ln(eα2)=ln(0,5)\ln \left(e^{-\alpha ^{2} } \right)=\ln \left(0,5\right)
α2=ln(0,5)-\alpha ^{2} =\ln \left(0,5\right)
α2=ln(12)-\alpha ^{2} =\ln \left(\frac{1}{2} \right)
α2=ln(2)-\alpha ^{2} =-\ln \left(2\right)
α2=ln(2)\alpha ^{2} =\ln \left(2\right)
α2=ln(2)\alpha ^{2} =\ln \left(2\right)
α=ln2\alpha =\sqrt{\ln 2} car α>0\alpha > 0