h est le produit de fonction dérivable sur
R, elle est donc dérivable sur cet intervalle.
Ici on reconnait la forme :
(uv)′=u′v+uv′ avec
u(x)=ex et
v(x)=ex.
Ainsi
u′(x)=e et
v′(x)=ex.
Il vient alors que :
h′(x)=eex+exexh′(x)=eex(1+x) h′ est donc du signe
(1+x).
1+x≥0⇔x≥−1Il en résulte donc que :
- si x∈]−∞;−1] alors h′(x)≤0 et donc h est décroissante sur cet intervalle.
- si x∈[−1;+∞[ alors h′(x)≥0 et donc h est croissante sur cet intervalle.
On en déduit le tableau de variation suivant :
Or
h(−1)=1−ee−1 c'est-à-dire
h(−1)=1−e0=0.
Il en résulte que pour tout réel
x, la fonction
h est
positive.