La fonction exponentielle

Etude de fonctions

Exercice 1

Etudiez les variations des fonctions suivantes sur R\mathbb{R}
1

f(x)=(3x2)exf\left(x\right)=\left(3x-2\right)e^{x}

Correction
2

f(x)=(2x+4)exf\left(x\right)=\left(-2x+4\right)e^{x}

Correction
3

f(x)=x2exf\left(x\right)=x^{2} e^{x}

Correction
4

f(x)=(2x2x)exf\left(x\right)=\left(2x^{2} -x\right)e^{x}

Correction
5

f(x)=21+exf\left(x\right)=\frac{2}{1+e^{x} }

Correction

Exercice 2

Etudiez les variations des fonctions suivantes sur R\mathbb{R}
1

f(x)=2ex2x+1f\left(x\right)=2e^{x}-2x+1

Correction
2

f(x)=ex3x+6f\left(x\right)=e^{x}-3x+6

Correction
3

f(x)=4ex+8x1f\left(x\right)=-4e^{x}+8x-1

Correction
4

f(x)=3e2x5x+8f\left(x\right)=-3e^{-2x}-5x+8

Correction

Exercice 3

Etudiez les variations des fonctions suivantes sur R\mathbb{R}
1

f(x)=xexf\left(x\right)=xe^{-x}

Correction
2

f(x)=(2x4)e2x+3f\left(x\right)=\left(2x-4\right)e^{2x+3}

Correction
3

f(x)=(x+3)e5x+4f\left(x\right)=\left(-x+3\right)e^{5x+4}

Correction
4

f(x)=x2e2x+1f\left(x\right)=x^{2} e^{-2x+1}

Correction
Pour cette question, nous allons étudier la fonction ff sur l'intervalle [3;8]\left[-3 ; 8\right].
5

f(x)=(x+3)exf\left(x\right)=\left(x+3\right)e^{-x}.

Correction

Exercice 4

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=e2x+4ex6xf\left(x\right)=e^{2x}+4e^{x}-6x
1

Calculer f(x)f'\left(x\right) et vérifier que : f(x)=2(ex1)(ex+3)f'\left(x\right)=2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +3\right)

Correction
2

Dresser les variations de ff sur R\mathbb{R}.

Correction

Exercice 5

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=12+3exf\left(x\right)=\frac{1}{2+3e^{-x} }
1

Calculer la limite de ff en -\infty. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction
2

Calculer la limite de ff en ++\infty. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction
3

Etudier les variations de ff.

Correction

Exercice 6

Soit ff la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=aex+be2xf\left(x\right)=ae^{-x} +be^{-2x}aa et bb étant deux constantes réelles.
La courbe représentative CC de la fonction ff est donnée ci-dessous.
Cette courbe passe par le point A(0;1)A\left(0; 1\right) et la tangente à CC en AA est parallèle à l’axe des abscisses. On note ff' la fonction dérivée de ff.
1

Donner les valeurs exactes de f(0)f\left(0\right) et f(0)f'\left(0\right).

Correction
2

Calculer f(x)f'\left(x\right).

Correction
3

En déduire les valeurs de aa et bb.

Correction
4

Montrer que , pour tout réel xx, on a : f(x)=2e2x(1ex)f'\left(x\right)=2e^{-2x} \left(1-e^{x} \right)

Correction
5

Etudier le signe de ff' et en déduire les variations de ff sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction
6

Montrer qu’une équation de la tangente DD à la courbe CC au point d'abscisse ln(2)-\ln \left(2\right) est : y=4x+4ln(2)y=4x+4\ln \left(2\right)

Correction
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