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La fonction exponentielle
Calculs de primitives avec
e
x
e^{x}
e
x
- Exercice 1
5 min
10
Question 1
On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle
I
I
I
(que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes.
a
(
x
)
=
−
3
e
x
+
3
x
2
−
5
x
3
+
2
a\left(x\right)=-3e^{x} +3 x^{2} -5x^{3}+2
a
(
x
)
=
−
3
e
x
+
3
x
2
−
5
x
3
+
2
Correction
Une primitive de
e
x
e^{x}
e
x
est
e
x
e^{x}
e
x
Une primitive de
x
n
x^{n}
x
n
est
1
n
+
1
x
n
+
1
\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
n
+
1
1
x
n
+
1
A
(
x
)
=
−
3
e
x
+
3
×
1
3
x
3
−
5
×
1
4
x
4
+
2
x
+
k
A\left(x\right)=-3e^{x} +3\times \frac{1}{3} x^{3} -5\times \frac{1}{4} x^{4} +2x+k
A
(
x
)
=
−
3
e
x
+
3
×
3
1
x
3
−
5
×
4
1
x
4
+
2
x
+
k
A
(
x
)
=
−
3
e
x
+
x
3
−
5
4
x
4
+
2
x
+
k
A\left(x\right)=-3e^{x} +x^{3} -\frac{5}{4} x^{4} +2x+k
A
(
x
)
=
−
3
e
x
+
x
3
−
4
5
x
4
+
2
x
+
k
où
k
k
k
est une constante réelle.
Question 2
b
(
x
)
=
7
x
−
3
x
2
+
2
x
5
+
6
e
x
+
1
b\left(x\right)=7x-\frac{3}{x^{2}}+2x^{5}+6e^{x}+1
b
(
x
)
=
7
x
−
x
2
3
+
2
x
5
+
6
e
x
+
1
Correction
Une primitive de
e
x
e^{x}
e
x
est
e
x
e^{x}
e
x
Une primitive de
x
n
x^{n}
x
n
est
1
n
+
1
x
n
+
1
\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
n
+
1
1
x
n
+
1
Une primitive de
1
x
2
\frac{1}{x^{2}}
x
2
1
est
−
1
x
\frac{-1}{x}
x
−
1
B
(
x
)
=
7
×
1
2
x
2
−
3
×
(
−
1
x
)
+
2
×
1
6
x
6
+
6
e
x
+
x
+
k
B\left(x\right)=7\times \frac{1}{2} x^{2} -3\times \left(\frac{-1}{x} \right)+2\times \frac{1}{6} x^{6} +6e^{x} +x+k
B
(
x
)
=
7
×
2
1
x
2
−
3
×
(
x
−
1
)
+
2
×
6
1
x
6
+
6
e
x
+
x
+
k
B
(
x
)
=
7
2
x
2
+
3
x
+
2
6
x
6
+
6
e
x
+
x
+
k
B\left(x\right)=\frac{7}{2} x^{2} +\frac{3}{x} +\frac{2}{6} x^{6} +6e^{x} +x+k
B
(
x
)
=
2
7
x
2
+
x
3
+
6
2
x
6
+
6
e
x
+
x
+
k
B
(
x
)
=
7
2
x
2
+
3
x
+
1
3
x
6
+
6
e
x
+
x
+
k
B\left(x\right)=\frac{7}{2} x^{2} +\frac{3}{x} +\frac{1}{3} x^{6} +6e^{x} +x+k
B
(
x
)
=
2
7
x
2
+
x
3
+
3
1
x
6
+
6
e
x
+
x
+
k