Théorème des gendarmes - Exercice 1

Pour tout réel $$x$$, on a :
$$-1\le \cos \left(x\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1+5\le 5+\cos \left(x\right)\le 5+1$$
$$4\le 5+\cos \left(x\right)\le 6$$ , on va ensuite diviser par $$x+2$$ qui est strictement positif car nous sommes au voisinage de $$+\infty$$
$$\frac{4}{x+2} \le \frac{5+\cos \left(x\right)}{x+2} \le \frac{6}{x+2}$$
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4}{x+2} =0$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{6}{x+2} =0$$
D'après le théorème des gendarmes : $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{5+\cos \left(x\right)}{x+2}=0$$

Pour tout réel $$x$$, on a :
$$-1\le \sin \left(x\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$2\ge -2\sin \left(x\right)\ge -2$$ , on a multiplié par un négatif donc on change le sens de l'inégalité.
$$-2\le -2\sin \left(x\right)\le 2$$
$$1-2\le 1-2\sin \left(x\right)\le 1+2$$
$$-1\le 1-2\sin \left(x\right)\le 3$$ , on va ensuite diviser par $$x^{2} +1$$ qui est strictement positif
$$\frac{-1}{x^{2} +1} \le \frac{1-2\sin \left(x\right)}{x^{2} +1} \le \frac{3}{x^{2} +1}$$
D'une part : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1}{x^{2} +1} =0$$
D'autre part : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{x^{2} +1} =0$$
D'après le théorème des gendarmes : $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{1-2\sin \left(x\right)}{x^{2} +1}$$

Pour tout réel $$x$$, on a :
$$-1\le \sin \left(x\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1+x\le \sin \left(x\right)+x\le 1+x$$, on va ensuite diviser par $$2x+1$$ qui est strictement positif car nous sommes au voisinage de $$+\infty$$
$$\frac{-1+x}{2x+1} \le \frac{\sin \left(x\right)+x}{2x+1} \le \frac{1+x}{2x+1}$$
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x}{2x+1}$$.
Pour calculer cette limite, nous factoriserons par $$x$$ au numérateur et par $$x$$ au dénominateur.
C'est-à-dire que l'on factorise le numérateur par son monôme de plus haut degré ici $$x$$ et on factorise le dénominateur par son monôme de plus haut degré ici $$x$$.
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x}{2x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{-1+x}{x} \right)}{x \left(\frac{2x+1}{x } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x}{2x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(-\frac{1}{x} +\frac{x}{x} \right)}{x\left(\frac{2x}{x} +\frac{1}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x}{2x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(-\frac{1}{x} +1\right)}{x\left(2+\frac{1}{x} \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x}{2x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\frac{-1}{x} +1}{2+\frac{1}{x} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1}{x} +1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2+\frac{1}{x} } & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ par quotient : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\frac{-1}{x} +1}{2+\frac{1}{x} } =\frac{1}{2}$$
Finalement : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x}{2x+1} =\frac{1}{2}$$
On effectue la même démarche pour calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+x}{2x+1}$$ et on obtiendra $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+x}{2x+1} =\frac{1}{2}$$
D'après le théorème des gendarmes $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\sin \left(x\right)+x}{2x+1} =\frac{1}{2}$$

Pour tout réel $$x$$, on a :
$$-1\le \cos \left(3x\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1+x\le \cos \left(3x\right)+x\le 1+x$$
on va ensuite diviser par $$x^{3} +2x+1$$ qui est strictement positif car nous sommes au voisinage de $$+\infty$$
$$\frac{-1+x}{x^{3} +2x+1} \le \frac{\cos \left(3x\right)+x}{x^{3} +2x+1} \le \frac{1+x}{x^{3} +2x+1}$$
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x}{x^{3} +2x+1}$$.
Pour calculer cette limite, nous factoriserons par $$x$$ au numérateur et par $$x^{3}$$ au dénominateur.
C'est-à-dire que l'on factorise le numérateur par son monôme de plus haut degré ici $$x$$ et on factorise le dénominateur par son monôme de plus haut degré ici $$x^{3}$$.
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x}{x^{3} +2x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{-1+x}{x} \right)}{x^{3} \left(\frac{x^{3} +2x+1}{x^{3} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x}{x^{3} +2x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(-\frac{1}{x} +\frac{x}{x} \right)}{x^{3} \left(\frac{x^{3} }{x^{3} } +\frac{2x}{x^{3} } +\frac{1}{x^{3} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x}{x^{3} +2x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(-\frac{1}{x} +1\right)}{x^{3} \left(1+\frac{2}{x^{2} } +\frac{1}{x^{3} } \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x}{x^{3} +2x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\frac{-1}{x} +1}{x^{2} \left(1+\frac{2}{x^{2} } +\frac{1}{x^{3} } \right)}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1}{x} +1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(1+\frac{2}{x^{2} } +\frac{1}{x^{3} } \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\frac{-1}{x} +1}{x^{2} \left(1+\frac{2}{x^{2} } +\frac{1}{x^{3} } \right)} =0$$
Finalement : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x}{x^{3} +2x+1} =0$$
On effectue la même démarche pour calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+x}{x^{3} +2x+1}$$ et on obtiendra $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+x}{x^{3} +2x+1} =0$$
D'après le théorème des gendarmes : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\cos \left(3x\right)+x}{x^{3} +2x+1} =0$$

Pour tout réel $$x$$, on a :
$$-1\le \sin \left(x\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$\frac{-1}{x+1} \le \frac{\sin \left(x\right)}{x+1} \le \frac{1}{x+1}$$ . On a divisé par $$x+1$$ qui est positif car nous sommes au voisinage de $$+\infty$$ donc on ne change pas le sens de l'inégalité.
$$2+\frac{-1}{x+1} \le 2+\frac{\sin \left(x\right)}{x+1} \le2+\frac{1}{x+1}$$
D'une part : $$\lim\limits_{x\to +\infty } 2+\frac{-1}{x+1} =2$$ car $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1}{x+1} =0$$
D'autre part : $$\lim\limits_{x\to +\infty } 2+\frac{1}{x+1} =2$$ car $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x+1} =0$$
D'après le théorème des gendarmes $$\lim\limits_{x\to +\infty }2+\frac{\sin \left(x\right)}{x+1} =2$$