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Fonctions : limites et asymptotes
QCM - Exercice 1
20 min
35
Question 1
Pour chacune des affirmations ci-dessous, précisez si elle est vraie ou fausse. Il faudra bien entendu
justifier
votre choix!
Si pour tout réel
x
>
0
x>0
x
>
0
, on a :
f
(
x
)
≤
2
x
f\left(x\right)\le \frac{2}{x}
f
(
x
)
≤
x
2
alors
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=0
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
0
Correction
L'affirmation est FAUSSE.
Nous choisissons comme fonction
f
(
x
)
=
−
1
x
−
2
f\left(x\right)=\frac{-1}{x}-2
f
(
x
)
=
x
−
1
−
2
. Or, pour tout réel
x
>
0
x>0
x
>
0
, on a :
f
(
x
)
≤
2
x
f\left(x\right)\le \frac{2}{x}
f
(
x
)
≤
x
2
et dans ce cas
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
−
2
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=-2
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
−
2
Question 2
Si pour tout réel
x
>
0
x>0
x
>
0
, on a :
−
2
x
+
3
≤
f
(
x
)
≤
2
x
+
3
\frac{-2}{x}+3\le f\left(x\right)\le \frac{2}{x}+3
x
−
2
+
3
≤
f
(
x
)
≤
x
2
+
3
alors
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
3
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=3
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
3
Correction
L'affirmation est VRAIE.
Nous allons appliquer le théorème des gendarmes.
D'une part :
lim
x
→
+
∞
−
2
x
+
3
=
3
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-2}{x}+3=3
x
→
+
∞
lim
x
−
2
+
3
=
3
D'une part :
lim
x
→
+
∞
2
x
+
3
=
3
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x}+3=3
x
→
+
∞
lim
x
2
+
3
=
3
D'après le théorème des gendarmes :
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
3
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=3
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
3
Question 3
Si
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
+
∞
et
lim
x
→
+
∞
g
(
x
)
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=+\infty
x
→
+
∞
lim
g
(
x
)
=
+
∞
alors
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
=
1
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=1
x
→
+
∞
lim
g
(
x
)
f
(
x
)
=
1
Correction
L'affirmation est FAUSSE.
Nous choisissons les fonctions
f
(
x
)
=
x
f\left(x\right)=x
f
(
x
)
=
x
et
g
(
x
)
=
x
2
g\left(x\right)=x^{2}
g
(
x
)
=
x
2
.
On a bien
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
+
∞
et
lim
x
→
+
∞
g
(
x
)
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=+\infty
x
→
+
∞
lim
g
(
x
)
=
+
∞
Or :
lim
x
→
+
∞
x
x
2
=
lim
x
→
+
∞
1
x
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x}{x^{2}}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x}=0
x
→
+
∞
lim
x
2
x
=
x
→
+
∞
lim
x
1
=
0
Question 4
Si
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=0
x
→
+
∞
lim
g
(
x
)
f
(
x
)
=
0
alors
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=0
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
0
Correction
L'affirmation est FAUSSE.
Nous choisissons les fonctions
f
(
x
)
=
1
f\left(x\right)=1
f
(
x
)
=
1
et
g
(
x
)
=
x
+
2
g\left(x\right)=x+2
g
(
x
)
=
x
+
2
.
On a bien
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
+
∞
1
x
+
2
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x+2}=0
x
→
+
∞
lim
g
(
x
)
f
(
x
)
=
x
→
+
∞
lim
x
+
2
1
=
0
et
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
1
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=1
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
1
.
Question 5
Si pour tout réel
x
>
1
x>1
x
>
1
:
g
(
x
)
−
f
(
x
)
≤
0
g\left(x\right)-f\left(x\right)\le 0
g
(
x
)
−
f
(
x
)
≤
0
et
lim
x
→
+
∞
g
(
x
)
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=+\infty
x
→
+
∞
lim
g
(
x
)
=
+
∞
alors
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
+
∞
Correction
L'affirmation est VRAIE.
Comme
g
(
x
)
−
f
(
x
)
≤
0
g\left(x\right)-f\left(x\right)\le 0
g
(
x
)
−
f
(
x
)
≤
0
alors
g
(
x
)
≤
f
(
x
)
g\left(x\right)\le f\left(x\right)
g
(
x
)
≤
f
(
x
)
et comme
lim
x
→
+
∞
g
(
x
)
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=+\infty
x
→
+
∞
lim
g
(
x
)
=
+
∞
alors d'après le théorème de comparaison on a bien :
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
+
∞
Question 6
Si
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
+
∞
et
lim
x
→
+
∞
g
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=0
x
→
+
∞
lim
g
(
x
)
=
0
alors
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
×
g
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)\times g\left(x\right) =0
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
×
g
(
x
)
=
0
Correction
L'affirmation est FAUSSE.
Nous choisissons les fonctions
f
(
x
)
=
x
f\left(x\right)=x
f
(
x
)
=
x
et
g
(
x
)
=
1
x
g\left(x\right)=\frac{1}{x}
g
(
x
)
=
x
1
.
On a bien :
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
+
∞
et
lim
x
→
+
∞
g
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=0
x
→
+
∞
lim
g
(
x
)
=
0
mais
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
×
g
(
x
)
=
lim
x
→
+
∞
x
×
1
x
=
1
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)\times g\left(x\right) =\lim\limits_{x\to +\infty } x\times \frac{1}{x}=1
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
×
g
(
x
)
=
x
→
+
∞
lim
x
×
x
1
=
1