Fonctions : limites et asymptotes

Limites et forme indéterminée - Exercice 1

20 min
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Question 1
Calculer les limites suivantes :

limx2x2+2x+3\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2} +2x+3

Correction
limxx2=+limx2x+3=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme ++\infty -\infty
11ère méthode : Pour relever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.
Ici, en l'occurrence par x2x^{2} .
limx2x2+2x+3=limxx2(2x2+2x+3x2)\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2} +2x+3=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(\frac{2x^{2} +2x+3}{x^{2} } \right)
limx2x2+2x+3=limxx2(2x2x2+2xx2+3x2)\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2} +2x+3=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(\frac{2x^{2} }{x^{2} } +\frac{2x}{x^{2} } +\frac{3}{x^{2} } \right)
limx2x2+2x+3=limxx2(2+2x+3x2)\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2} +2x+3=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(2+\frac{2}{x} +\frac{3}{x^{2} } \right)
limxx2=+limx2+2x+3x2=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2+\frac{2}{x} +\frac{3}{x^{2} } } & {=} & {2} \end{array}\right\} par produit limx2x2+2x+3=+\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2} +2x+3 =+\infty
22ème méthode :
  • Au voisinage de ++\infty et de -\infty , la limite d'un polynôme est équivalent à la limite de son monôme de plus haut degré.
  • Autrement dit, à l'aide d'un exemple : limx+5x43x6+2x3x+1=limx+3x6=\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1=\lim\limits_{x\to +\infty }-3x^{6}=-\infty . En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x5x43x6+2x3x+1x\mapsto 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1 est 3x6-3x^{6}.
  • Ainsi : limx2x2+2x+3=limx2x2=+\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2} +2x+3=\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2}=+\infty . Vous ne pouvez utiliser la méthode 22 que si votre professeur l'accepte. Sinon, il vous faudra rédiger la méthode 11.
    Question 2

    limx+4x3x+2\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} -x+2

    Correction
    limx+4x3=+limx+x+2=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -x+2} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme ++\infty -\infty
    11ère méthode : Pour relever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.
    Ici, en l'occurrence par x3x^{3} .
    limx+4x3x+2=limx+x3(4x3x+2x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} -x+2=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{4x^{3} -x+2}{x^{3} } \right)
    limx+4x3x+2=limx+x3(4x3x3+xx3+2x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} -x+2=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{4x^{3} }{x^{3} } +\frac{-x}{x^{3} } +\frac{2}{x^{3} } \right)
    limx+4x3x+2=limx+x3(4+1x2+2x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} -x+2=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(4+\frac{-1}{x^{2}} +\frac{2}{x^{3} } \right)
    limx+x3=+limx+4+1x2+2x3=4}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 4+\frac{-1}{x^{^2}} +\frac{2}{x^{3} } } & {=} & {4} \end{array}\right\} par produit limx+4x3x+2=+\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} -x+2 =+\infty
    22ème méthode :
  • Au voisinage de ++\infty et de -\infty , la limite d'un polynôme est équivalent à la limite de son monôme de plus haut degré.
  • Autrement dit, à l'aide d'un exemple : limx+5x43x6+2x3x+1=limx+3x6=\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1=\lim\limits_{x\to +\infty }-3x^{6}=-\infty . En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x5x43x6+2x3x+1x\mapsto 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1 est 3x6-3x^{6}.
  • Ainsi : limx+4x3x+2=limx+4x3=+\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} -x+2=\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3}=+\infty . Vous ne pouvez utiliser la méthode 22 que si votre professeur l'accepte. Sinon, il vous faudra rédiger la méthode 11.
    Question 3

    limx+4x25x+1\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+1

    Correction
    limx+4x2=+limx+5x+1=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -5x+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme ++\infty -\infty
    11ère méthode : Pour relever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.
    Ici, en l'occurrence par x2x^{2} .
    limx+4x25x+1=limx+x2(4x25x+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+1=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(\frac{4x^{2} -5x+1}{x^{2} } \right)
    limx+4x25x+1=limx+x2(4x2x25xx2+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+1=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(\frac{4x^{2} }{x^{2} } -\frac{5x}{x^{2} } +\frac{1}{x^{2} } \right)
    limx+4x25x+1=limx+x2(45x+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+1=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(4-\frac{5}{x} +\frac{1}{x^{2} } \right)
    limx+x2=+limx+45x+1x2=4}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 4-\frac{5}{x} +\frac{1}{x^{2} } } & {=} & {4} \end{array}\right\} par produit limx+4x25x+1=+\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+1 =+\infty
    22ème méthode :
  • Au voisinage de ++\infty et de -\infty , la limite d'un polynôme est équivalent à la limite de son monôme de plus haut degré.
  • Autrement dit, à l'aide d'un exemple : limx+5x43x6+2x3x+1=limx+3x6=\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1=\lim\limits_{x\to +\infty }-3x^{6}=-\infty . En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x5x43x6+2x3x+1x\mapsto 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1 est 3x6-3x^{6}.
  • Ainsi : limx+4x25x+1=limx+4x2=+\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+1=\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2}=+\infty . Vous ne pouvez utiliser la méthode 22 que si votre professeur l'accepte. Sinon, il vous faudra rédiger la méthode 11.
    Question 4

    limx+x3x2+2x7\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}+2x-7

    Correction
    limx+x3x2=limx+2x7=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x-7} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ++\infty -\infty
    11ère méthode : Pour relever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.
    Ici, en l'occurrence par x3x^{3} .
    limx+x3x2+2x7=limx+x3(x3x2+2x7x3)\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}+2x-7=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{-x^{3} -x^{2}+2x-7}{x^{3} } \right)
    limx+x3x2+2x7=limx+x3(x3x3+x2x3+2xx3+7x3)\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}+2x-7=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{-x^{3} }{x^{3} } +\frac{-x^{2}}{x^{3} }+\frac{2x}{x^{3} } +\frac{7}{x^{3} } \right)
    limx+x3x2+2x7=limx+x3(1+1x+2x2+7x3)\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}+2x-7=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(-1+\frac{-1}{x}+\frac{2}{x^{2}} +\frac{7}{x^{3} } \right)
    limx+x3=+limx+1+1x+2x2+7x3=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -1+\frac{-1}{x}+\frac{2}{x^{2}} +\frac{7}{x^{3} } } & {=} & {-1} \end{array}\right\} par produit limx+x3x2+2x7=\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}+2x-7 =-\infty
    22ème méthode :
  • Au voisinage de ++\infty et de -\infty , la limite d'un polynôme est équivalent à la limite de son monôme de plus haut degré.
  • Autrement dit, à l'aide d'un exemple : limx+5x43x6+2x3x+1=limx+3x6=\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1=\lim\limits_{x\to +\infty }-3x^{6}=-\infty . En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x5x43x6+2x3x+1x\mapsto 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1 est 3x6-3x^{6}.
  • Ainsi : limx+x3x2+2x7=limx+x3=\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}+2x-7=\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3}=-\infty . Vous ne pouvez utiliser la méthode 22 que si votre professeur l'accepte. Sinon, il vous faudra rédiger la méthode 11.
    Question 5

    limx2x4x2+2\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} -x^{2}+2

    Correction
    limx2x4=+limxx2+2=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2}+2} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ++\infty -\infty
    11ère méthode : Pour relever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.
    Ici, en l'occurrence par x4x^{4} .
    limx2x4x2+2=limxx4(2x4x2+2x4)\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} -x^{2}+2=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(\frac{2x^{4} -x^{2}+2}{x^{4} } \right)
    limx2x4x2+2=limxx4(2x4x4x2x4+2x4)\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} -x^{2}+2=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(\frac{2x^{4} }{x^{4} } -\frac{x^{2}}{x^{4} } +\frac{2}{x^{4} } \right)
    limx2x4x2+2=limxx4(21x2+2x4)\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} -x^{2}+2=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(2-\frac{1}{x^{2}} +\frac{2}{x^{4} } \right)
    limxx4=+limx21x2+2x4=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2-\frac{1}{x^{2}} +\frac{2}{x^{4} } } & {=} & {2} \end{array}\right\} par produit limx2x4x2+2=+\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} -x^{2}+2 =+\infty
    22ème méthode :
  • Au voisinage de ++\infty et de -\infty , la limite d'un polynôme est équivalent à la limite de son monôme de plus haut degré.
  • Autrement dit, à l'aide d'un exemple : limx+5x43x6+2x3x+1=limx+3x6=\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1=\lim\limits_{x\to +\infty }-3x^{6}=-\infty . En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x5x43x6+2x3x+1x\mapsto 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1 est 3x6-3x^{6}.
  • Ainsi : limx2x4x2+2=limx2x4=+\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} -x^{2}+2=\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4}=+\infty . Vous ne pouvez utiliser la méthode 22 que si votre professeur l'accepte. Sinon, il vous faudra rédiger la méthode 11.