Limites et fonctions composées - Exercice 1

Il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty }36+\frac{4}{x}$$. Ainsi : $$\lim\limits_{x\to +\infty } 36+\frac{4}{x} =36$$
On pose $$X=36+\frac{4}{x}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $$+\infty$$ alors $$X$$ tend vers $$36$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to 36} \sqrt{X }=\sqrt{36}=6$$
Par composition :

Il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{4x+1}{x+6}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{4x+1}{x+6}$$
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x+1}{x+6} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{4x+1}{x} \right)}{x\left(\frac{x+6}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x+1}{x+6} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{4x}{x} +\frac{1}{x} \right)}{x\left(\frac{x}{x} +\frac{6}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x+1}{x+6} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(4+\frac{1}{x} \right)}{x\left(1+\frac{6}{x} \right)}$$ . On simplifie par $$x$$ le numérateur et le dénominateur .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x+1}{x+6} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4+\frac{1}{x} }{1+\frac{6}{x} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4+\frac{1}{x} } & {=} & {4} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\frac{6}{x} } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4+\frac{1}{x} }{1+\frac{6}{x} }=4$$
Donc : $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{4x+1}{x+6} =4$$
On pose $$X=\frac{4x+1}{x+6}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $$+\infty$$ alors $$X$$ tend vers $$4$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to 4} \sqrt{X }=\sqrt{4}=2$$
Par composition :

Il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{1}{x+1}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{1}{x+1}=0$$

On pose $$X=\frac{1}{x+1}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $$+\infty$$ alors $$X$$ tend vers $$0$$.

Or : $$\lim\limits_{X\to 0} \sin{X }=\sin{0}=0$$

Par composition :

Il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\pi x-3}{2x+1}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\pi x-3}{2x+1}$$
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\pi x-3}{2x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{\pi x-3}{x} \right)}{x\left(\frac{2x+1}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\pi x-3}{2x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{\pi x}{x} -\frac{3}{x} \right)}{x\left(\frac{2x}{x} +\frac{1}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\pi x-3}{2x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\pi -\frac{3}{x} \right)}{x\left(2+\frac{1}{x} \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\pi x-3}{2x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\pi-\frac{3}{x} }{2+\frac{1}{x} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \pi-\frac{3}{x} } & {=} & {\pi} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2+\frac{1}{x} } & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\pi-\frac{3}{x} }{2+\frac{1}{x} }=\frac{\pi}{2}$$
Donc : $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\pi x-3}{2x+1} =\frac{\pi}{2}$$
On pose $$X=\frac{\pi x-3}{2x+1}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $$+\infty$$ alors $$X$$ tend vers $$\frac{\pi}{2}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to \frac{\pi}{2}} \cos{X }=\cos{\frac{\pi}{2} }=0$$
Par composition :

Il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty }-x^{2} +1$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to +\infty }-x^{2} +1=-\infty$$

On pose $$X=-x^{2} +1$$. Lorsque $$x$$ tend vers $$+\infty$$ alors $$X$$ tend vers $$-\infty$$.

Or : $$\lim\limits_{X\to -\infty} X^{7} =-\infty$$

Par composition :

Il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to 3^{+} }\left(x-3\right)^{2}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to 3^{+} }\left(x-3\right)^{2}=0^{+}$$
On pose $$X=\left(x-3\right)^{2}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $$3^{+}$$ alors $$X$$ tend vers $$0^{+}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to 0^{+}} \frac{2}{X} =+\infty$$
Par composition :

Il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to -\infty }2-3x$$. Ainsi : $$\lim\limits_{x\to -\infty } 2-3x =3+\infty$$
On pose $$X=2-3x$$. Lorsque $$x$$ tend vers $$-\infty$$ alors $$X$$ tend vers $$+\infty$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to +\infty } \sqrt{X }=+\infty$$
Par composition :

Il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to -\infty }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3}$$
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{x\to -\infty }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{36x^{2} -1}{x^{2}} \right)}{x^{2}\left(\frac{4x^{2} +3}{x^{2}} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{36x^{2} }{x^{2} } -\frac{1}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{4x^{2} }{x^{2} } +\frac{3}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(36-\frac{1}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(4+\frac{3}{x^{2} } \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x^{2}$$ .
$$\lim\limits_{x\to -\infty }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{36-\frac{1}{x^{2}} }{4+\frac{3}{x^{2}} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 36-\frac{1}{x^{2}} } & {=} & {36} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4+\frac{3}{x^{2}} } & {=} & {4} \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{36-\frac{1}{x^{2}} }{4+\frac{3}{x^{2}} }=\frac{36}{4}=9$$
Donc : $$\lim\limits_{x\to -\infty }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} =9$$ .
On pose $$X=\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $$-\infty$$ alors $$X$$ tend vers $$9$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to 9} \sqrt{X }=\sqrt{9}=3$$
Par composition :