Fonctions : continuité et dérivation

QCM

Exercice 1

Pour les questions 11, 22 et 33, on considère la fonction f(x)=5+462xf\left(x\right)=5+\frac{4}{6-2x} .
1

La courbe représentative de la fonction ff admet pour asymptotes les droites d'équations :
  • x=3x=3 et y=5y=5
  • x=5x=5 et y=3y=3
  • x=0x=0 et y=5y=5
  • x=0x=0 et y=3y=3

Correction
2

On peut affirmer que :
  • limx+1f(x)=1\lim_{x\to +\infty } \frac{1}{f\left(x\right)} =1
  • limx+(f(x))2=10\lim_{x\to +\infty } \left(f\left(x\right)\right)^{2} =10
  • limx3+f(x)=\lim_{x\to 3^{+} } \sqrt{f\left(x\right)}=-\infty
  • limx3+1f(x)=0\lim_{x\to 3^{+} } \frac{1}{f\left(x\right)}= 0

Correction
Soit gg une fonction telle que pour tout x>3x>3 , on ait :
5f(x)g(x)f(x)55-f\left(x\right)\le g\left(x\right)\le f\left(x\right)-5

3

  • limx3+g(x)=+\lim_{x\to 3^{+} } g\left(x\right) = +\infty
  • limx+g(x)=0\lim_{x\to +\infty } g\left(x\right) =0
  • limx3+g(x)=\lim_{x\to 3^{+} } g\left(x\right)=-\infty
  • limx3+g(x)=5\lim_{x\to 3^{+} } g\left(x\right)=5

Correction
Pour les questions 44, 55 et 66, on considère la fonction u(x)=2x2+x+1u\left(x\right)=2x^{2}+x+1 .
4

hh est la fonction telle que : h(x)=u(x)h\left(x\right)=\sqrt{u\left(x\right)}. Donc h(x)h'\left(x\right) est égale à :
  • h(x)=4x+1h'\left(x\right)=\sqrt{4x+1}
  • h(x)=12x2+x+1h'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x^{2} +x+1} }
  • h(x)=4x+12x2+x+1h'\left(x\right)=\frac{4x+1}{2\sqrt{x^{2} +x+1} }
  • h(x)=12x×(4x+1)h'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x} } \times \left(4x+1\right)

Correction
5

kk est la fonction telle que : k(x)=1[u(x)]5k\left(x\right)=\frac{1}{\left[u\left(x\right)\right]^{5} } . Donc k(x)k'\left(x\right) est égale à :
  • k(x)=1(2x2+x+1)6k'\left(x\right)=\frac{-1}{\left(2x^{2} +x+1\right)^{6} }
  • k(x)=2x+1(2x2+x+1)6k'\left(x\right)=\frac{2x+1}{\left(2x^{2} +x+1\right)^{6} }
  • k(x)=20x5(2x2+x+1)6k'\left(x\right)=\frac{-20x-5}{\left(2x^{2} +x+1\right)^{6} }
  • k(x)=20x5(2x2+x+1)4k'\left(x\right)=\frac{-20x-5}{\left(2x^{2} +x+1\right)^{4} }

Correction
6

pp est la fonction telle que : p(x)=(u(x))3p\left(x\right)=\left(u\left(x\right)\right)^{3} . Donc :
  • p(0)=3p'\left(0\right)=-3
  • p(0)=3p'\left(0\right)=3
  • p(0)=0p'\left(0\right)=0
  • p(0)=1p'\left(0\right)=-1

Correction
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