Fonctions : continuité et dérivation

Problèmes utilisant la fonction racine carré

Exercice 1

La fonction ff est définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=1x2+1f\left(x\right)=\sqrt{\frac{1}{x^{2} +1} }
1

Déterminer la limite de ff en -\infty. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction
2

Déterminer la limite de ff en ++\infty. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction
On admet que hh est dérivable sur R\mathbb{R}.
3

Calculer la dérivée de hh sachant que : h(x)=1x2+1h\left(x\right)=\frac{1}{x^{2} +1}

Correction
On admet que ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
La fonction ff est définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=1x2+1f\left(x\right)=\sqrt{\frac{1}{x^{2} +1} }
4

Calculer f(x)f'\left(x\right) pour tout réel xx, étudier son signe et en déduire le tableau de variation complet de ff.

Correction

Exercice 2

Partie A :
La fonction gg est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par : g(x)=2x1+x22g\left(x\right)=2x\sqrt{1+x^{2} } -2
1

Déterminer la limite de gg en -\infty et ++\infty.

Correction
2

Calculer g(x)g'\left(x\right) pour tout réel xx, étudier son signe et en déduire le tableau de variation complet de gg.

Correction
3

Démontrer que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution α\alpha . Donner un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
4

Déterminer le signe de la fonction gg sur R\mathbb{R}.

Correction
Partie B :
La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par : f(x)=x331+x2f\left(x\right)=\frac{x^{3}}{3}-\sqrt{1+x^{2} }
5

Montrer que f(x)=12×x×g(x)1+x2f'\left(x\right)=\frac{1}{2} \times \frac{x\times g\left(x\right)}{\sqrt{1+x^{2} } }

Correction
6

Etudier le signe de ff' et en déduire le tableau de variation de ff.

Correction
7

Montrer que f(α)=α433αf\left(\alpha \right)=\frac{\alpha ^{4} -3}{{3\alpha}}

Correction

Exercice 3

La fonction gg est définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par : g(x)=x2+1x+1g\left(x\right)=\frac{x^{2} +1}{\sqrt{x} } +1. On note Cg\mathscr{C_{g}} la courbe représentative de la fonction gg.
1

Donner le signe de gg.

Correction
2

Déterminer la limite de gg en 00.

Correction
3

Montrer que g(x)=3x212xxg'\left(x\right)=\frac{3x^{2} -1}{2x\sqrt{x} } .

Correction
4

En déduire le tableau de variation de la fonction gg. (On ne demande pas la limite de gg en ++\infty.

Correction
5

Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cg\mathscr{C_{g}} au point d'abscisse 11.

Correction

Exercice 4

La fonction ff est définie sur ]5;5[\left]-5;5 \right[ par : f(x)=(x+5)25x2f\left(x\right)=\left(x+5\right)\sqrt{25-x^{2} }. On note Cf\mathscr{C_{f}} la courbe représentative de la fonction ff.
1

Pour tout réel xx appartenant à ]5;5[\left]-5;5 \right[ , calculer f(x)f'\left(x\right).

Correction
2

Dresser le tableau de variation de ff.

Correction
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