Fonctions : continuité et dérivation

Les dérivées composées - Exercice 1

15 min
20
Dérivées avec la racine carrée.
Question 1
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II. Calculer la dérivée de la fonction ff dans chacun des cas.

f(x)=3x+4f\left(x\right)=\sqrt{3x+4}

Correction

(u)=u2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
On reconnaît ici u\sqrt{u}u(x)=3x+4u\left(x\right)=3x+4. Ainsi u(x)=3u'\left(x\right)=3.
Il en résulte que :
f(x)=323x+4f'\left(x\right)=\frac{3}{2\sqrt{3x+4} }

Question 2

f(x)=5x+1f\left(x\right)=5\sqrt{-x+1}

Correction

(u)=u2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
On reconnaît ici u\sqrt{u}u(x)=x+1u\left(x\right)=-x+1. Ainsi u(x)=1u'\left(x\right)=-1.
Il en résulte que :
f(x)=5×12x+1f'\left(x\right)=5\times\frac{-1}{2\sqrt{-x+1} }
Finalement :
f(x)=52x+1f'\left(x\right)=\frac{-5}{2\sqrt{-x+1} }
Question 3

f(x)=x2+3x+1f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}+3x+1}

Correction

(u)=u2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
On reconnaît ici u\sqrt{u}u(x)=x2+3x+1u\left(x\right)=x^{2}+3x+1. Ainsi u(x)=2x+3u'\left(x\right)=2x+3.
Il en résulte que :
f(x)=2x+32x2+3x+1f'\left(x\right)=\frac{2x+3}{2\sqrt{x^{2}+3x+1} }
Question 4

f(x)=73x2+2x9f\left(x\right)=7\sqrt{3x^{2}+2x-9}

Correction

(u)=u2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
On reconnaît ici u\sqrt{u}u(x)=3x2+2x9u\left(x\right)=3x^{2}+2x-9. Ainsi u(x)=6x+2u'\left(x\right)=6x+2.
Il en résulte que :
f(x)=7×6x+223x2+2x9f'\left(x\right)=7\times\frac{6x+2}{2\sqrt{3x^{2}+2x-9} }

Finalement :
f(x)=42x+1423x2+2x9f'\left(x\right)=\frac{42x+14}{2\sqrt{3x^{2}+2x-9} }

On peut encore aller plus loin en simplifiant le quotient par deux, il vient alors que :
f(x)=26x+73x2+2x9f'\left(x\right)=\frac{26x+7}{\sqrt{3x^{2}+2x-9} }
Question 5

f(x)=3x4x1f\left(x\right)=3x\sqrt{4x-1}

Correction
  • (uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv'
  • (u)=u2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
  • On reconnait la forme (uv)\left(uv\right)'
    On pose alors u(x)=3xu\left(x\right)=3x et v(x)=4x1v\left(x\right)=\sqrt{4x-1}
    Ainsi : u(x)=3u'\left(x\right)=3 et v(x)=424x1v'\left(x\right)=\frac{4}{2\sqrt{4x-1} } que l'on peut écrire après simplification v(x)=24x1v'\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{4x-1} }
    Il vient alors que :
    f(x)=3×4x1+3x×24x1f'\left(x\right)=3\times \sqrt{4x-1} +3x\times \frac{2}{\sqrt{4x-1} }
    Finalement :
    f(x)=34x1+6x4x1f'\left(x\right)=3\sqrt{4x-1} +\frac{6x}{\sqrt{4x-1} }
    Question 6

    f(x)=2xx+1f\left(x\right)=\frac{2x}{\sqrt{x+1} }

    Correction

    (uv)=uvuvv2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    (u)=u2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
    On reconnait la forme (uv)\left(\frac{u}{v} \right)^{'}
    On pose alors : u(x)=2xu\left(x\right)=2x et v(x)=x+1v\left(x\right)=\sqrt{x+1}
    Ainsi : u(x)=2u'\left(x\right)=2 et v(x)=12x+1v'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x+1} }
    Il vient alors que :
    f(x)=2x+12x×12x+1(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{2\sqrt{x+1} -2x\times \frac{1}{2\sqrt{x+1} } }{\left(\sqrt{x+1} \right)^{2} }

    Finalement :
    f(x)=2x+1xx+1x+1f'\left(x\right)=\frac{2\sqrt{x+1} -\frac{x}{\sqrt{x+1} } }{x+1}