Fonctions : continuité et dérivation

Exercices types : partie 2

Exercice 1

On considère la fonction ff une fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par : f(x)=8x344x2+1f\left(x\right)=\frac{-8x^{3}-4}{4x^{2}+1} et Cf\mathscr{C_f} sa courbe représentative dans un repère du plan.
Etude d'une fonction auxiliaire.
On pose g(x)=4x3+3x4g\left(x\right)=4x^{3}+3x-4 .
1

Déterminer la limite de la fonction gg en -\infty et en ++\infty .

Correction
2

Déterminer le tableau de variation de la fonction gg sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction
3

Démontrer que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle ];+[\left]-\infty;+\infty \right[.
On notera α\alpha cette solution.

Correction
4

Déterminer un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
5

En déduire le signe de gg sur l'intervalle ];+[\left]-\infty;+\infty \right[.

Correction
Etude de la fonction ff.
On considère la fonction ff une fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par : f(x)=8x344x2+1f\left(x\right)=\frac{-8x^{3}-4}{4x^{2}+1} et Cf\mathscr{C_f} sa courbe représentative dans un repère du plan.
6

Calculer f(x)f'\left(x\right) puis vérifier que f(x)=8xg(x)(4x2+1)2f'\left(x\right)=\frac{-8xg\left(x\right)}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} } .

Correction
7

Dresser le tableau de variation de ff. La justification des limites n'est pas demandée.

Correction

Exercice 2

Soit ff une fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par : f(x)=2x36x2+9f\left(x\right)=2x^{3}-6x^{2}+9 et Cf\mathscr{C_f} sa courbe représentative dans un repère du plan.
1

Déterminer la limite de la fonction ff en -\infty et en ++\infty .

Correction
2

Déterminer le tableau de variation de la fonction ff sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction
3

Démontrer que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur [2;4]\left[-2;4 \right].
On notera α\alpha cette solution.

Correction
4

En déduire le signe de ff sur l'intervalle [2;4]\left[-2;4 \right].

Correction
5

Déterminer une équation de la tangente TT à la courbe Cf\mathscr{C_f} au point d'abscisse 11.

Correction

Exercice 3

Partie A .
Soit gg la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par g(x)=x312x16g\left(x\right)=x^{3} -12x-16.
1

Déterminer la limite de la fonction gg en -\infty et en ++\infty .

Correction
2

Déterminer le tableau de variation de la fonction gg sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction
3

Démontrer que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet deux solutions sur ];+[\left]-\infty;+\infty \right[.
On notera α\alpha la solution sur l'intervalle [2;+[\left[2;+\infty \right[.

Correction
4

Déterminer une valeur exacte de α\alpha .

Correction
5

Déterminer le signe de la fonction gg sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction
Partie B
La fonction ff est définie sur I=]2;+[I=\left]2;+\infty \right[ par f(x)=x3+2x2x24f\left(x\right)=\frac{x^{3} +2x^{2} }{x^{2}-4} . On note Cf\mathscr{C_{f}} sa représentation graphique dans le repère orthogonal.
6

Etudiez les limites de ff aux bornes de l'ensemble de définition. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction
7

Démontrer que pour tout réel xx de II, on a : f(x)=xg(x)(x24)2f'\left(x\right)=\frac{xg\left(x\right)}{\left(x^{2} -4\right)^{2} } .

Correction
8

Etablir le tableau de variations de la fonction ff sur II.

Correction
On note DD la droite d'équation : y=x+2y=x+2.
9

Etudier la position relative entre la courbe Cf\mathscr{C_{f}} et la droite DD sur l'intervalle I=]2;+[I=\left]2;+\infty \right[.

Correction
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