Fonctions : continuité et dérivation

Exercices types : partie 1

Exercice 1

Soit gg la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par g(x)=x3+x2+3g\left(x\right)=-x^{3}+x^{2}+3.
1

Déterminer la limite de la fonction gg en -\infty et en ++\infty .

Correction
2

Déterminer le tableau de variation de la fonction gg sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction
3

Démontrer que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[.
On notera α\alpha cette solution.

Correction
4

Déterminer un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
5

Déterminer le signe de la fonction gg sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction

Exercice 2

Soit gg la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par g(x)=x33x3g\left(x\right)=x^{3} -3x-3.
1

Déterminer la limite de la fonction gg en -\infty et en ++\infty

Correction
2

Déterminer le tableau de variation de la fonction gg sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[

Correction
3

Démontrer que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[
On notera α\alpha cette solution.

Correction
4

Déterminer un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
5

Déterminer le signe de la fonction gg sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[

Correction
On considère la fonction ff définie par : f(x)=2x3+3x21f(x)=\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}
6

Déterminer le domaine de définition de ff

Correction
7

Déterminer ensuite les limites de ff aux bornes de son domaine de définition.
Que peut-on en déduire graphiquement ?

Correction
8

Démontrer que pour tout réel xx du domaine de définition de ff, on a : f(x)=2xg(x)(x21)2f'(x)=\frac{2xg(x)}{(x^{2}-1)^{2}}

Correction
9

En déduire les variations de la fonction ff

Correction

Exercice 3

Soit ff la fonction définie sur [10;10]\left[-10 ;10 \right] par f(x)=12x43x2+6x1f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{4} -3x^{2}+6x-1.
1

Calculer f(x)f'\left(x\right).

Correction
2

Calculer f(x)f''\left(x\right). On note ff'' la dérivée de ff'.

Correction
3

Etudier le signe de ff'' et en déduire le tableau de variation complet de ff'.

Correction
4

Démontrer que l'équation f(x)=0f'\left(x\right)=0 admet une unique solution sur [10;10]\left[-10 ;10 \right]
On notera α\alpha cette solution.

Correction
5

Déterminer un encadrement de α\alpha à 10310^{-3} près.

Correction
6

Déterminer le signe de la fonction ff' sur [10;10]\left[-10 ;10 \right].

Correction
7

En déduire le tableau de variation de ff.

Correction

Exercice 4

Soit gg la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par g(x)=2x32x2+10x+18g\left(x\right)=-2x^{3} -2x^{2}+10x+18.
1

Déterminer la limite de la fonction gg en -\infty et en ++\infty .

Correction
2

Déterminer le tableau de variation de la fonction gg sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction
3

Démontrer que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[.
On notera α\alpha cette solution.

Correction
4

Déterminer un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
5

Déterminer le signe de la fonction gg sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction

Exercice 5

La fonction ff est définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=3x48x36x2+24xf\left(x\right)=3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x.
1

Déterminer la limite de la fonction ff en -\infty et en ++\infty .

Correction
2

Démontrer que pour tout réel xx, on a : f(x)=12(x2)(x21)f'\left(x\right)=12\left(x-2\right)\left(x^{2}-1\right)

Correction
3

Etudier le sens de variation de ff. Dresser son tableau de variation complet.

Correction
4

Démontrer que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet deux solutions α\alpha et β\beta . On suppose que β>α\beta>\alpha

Correction
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