Fonctions : continuité et dérivation

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

20 min
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Soit gg la fonction définie sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ par g(x)=−x3+x2+3g\left(x\right)=-x^{3}+x^{2}+3.
Question 1

Déterminer la limite de la fonction gg en −∞-\infty et en +∞+\infty .

Correction
D'une part : lim⁡x→−∞−x3+x2+3\lim _{x \rightarrow -\infty}{-x^{3}+x^{2}+3} . Au voisinage de −∞-\infty, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré. Autrement dit, on n'étudie que la limite du monôme de plus haut degré.
Donc :
lim⁡x→−∞−x3+x2+3=lim⁡x→−∞−x3=+∞\lim _{x \rightarrow -\infty}{-x^{3}+x^{2}+3}=\lim _{x \rightarrow -\infty}{-x^{3}} = +\infty

D'autre part : lim⁡x→+∞−x3+x2+3\lim _{x \rightarrow +\infty}{-x^{3}+x^{2}+3} . Au voisinage de +∞+\infty, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré. Autrement dit, on n'étudie que la limite du monôme de plus haut degré.
Donc :
lim⁡x→+∞−x3+x2+3=lim⁡x→+∞−x3=−∞\lim _{x \rightarrow +\infty}{-x^{3}+x^{2}+3}=\lim _{x \rightarrow +\infty}{-x^{3}} = -\infty
Question 2

Déterminer le tableau de variation de la fonction gg sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction
gg est dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.
On va commencer par calculer la dérivée de gg.
Il vient alors que :
g′(x)=−3x2+2xg'(x) = -3x^{2}+2x , c'est une équation du second degré, on calcule le discriminant et on détermine les racines.
Ainsi : Δ=4\Delta = 4 , il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : x1=23x_{1} = \frac{2}{3} et x2=0x_{2} = 0.
Comme a=−3<0a=-3<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que g′g' est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
On en déduit le tableau de signe de g′g' ainsi que le tableau de variation de gg. On indiquera les valeurs des extrema.

De plus:
g(0)=−03+02+3g\left(0\right) = -0^{3} + 0^{2} + 3 ainsi
g(0)=3g\left(0\right) = 3

g(23)=−(23)3+(23)2+3g\left(\frac{2}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3}\right)^{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^{2} + 3 ainsi
g(23)=8527g\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{85}{27}
Question 3

Démontrer que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.
On notera α\alpha cette solution.

Correction
On reprend le tableau de variation fait à la question 22. On fera apparaître le zéro que l'on recherche.
De plus :
  • Sur ]−∞;23[\left]-\infty;\frac{2}{3}\right[ , la fonction gg est continue et admet 33 comme minimum.
    La fonction gg est strictement positive.
    Donc l'équation g(x)=0g(x)=0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
  • Sur [23;+∞[\left[\frac{2}{3};+\infty\right[ , la fonction gg est continue et strictement décroissante.
    De plus, g(23)=8527g\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{85}{27} et lim⁡x→+∞g(x)=−∞\lim _{x \rightarrow +\infty}{g(x)} = -\infty
    Or 0∈]−∞;8527]0 \in \left]-\infty;\frac{85}{27}\right] , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha dans R\mathbb{R} tel que g(x)=0g(x) = 0
Question 4

Déterminer un encadrement de α\alpha à 10−210^{-2} près.

Correction
A la calculatrice, on vérifie que :
g(1,86)≈0,0247g(1,86)\approx0,0247 et g(1,87)≈−0,042g(1,87)\approx-0,042
Or 0∈[−0,042;0,0247]0 \in \left[-0,042;0,0247\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : 1,86≤α≤1,871,86\le\alpha\le1,87
Question 5

Déterminer le signe de la fonction gg sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction
Sur ]−∞;23]\left]-\infty;\frac{2}{3}\right], la fonction gg est continue et admet 33 comme minimum. La fonction gg est strictement positive.
Sur [23;+∞[\left[\frac{2}{3};+\infty\right[, la fonction gg est continue et strictement décroissante et g(α)=0g(\alpha) = 0
Donc g(x)≥0g(x)\ge0 pour tout x∈]−∞;α]x\in\left]-\infty;\alpha\right] et g(x)≤0g(x)\le0 pour tout x∈[α;+∞[x\in\left[\alpha;+\infty\right[
On résume cela dans un tableau de signe :