Fonctions : continuité et dérivation

Equations de tangentes : rappels - Exercice 1

10 min
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Pour les fonctions suivantes déterminer une équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse aa.
Question 1

f(x)=2x2+3x5 ;a=1f\left(x\right)=-2x^{2} +3x-5~; a=1

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=1a=1, ce qui donne, y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right).
1ère étape : calculer la dérivée de ff
f(x)=2×2x+3f'\left(x\right)=-2\times 2x+3
f(x)=4x+3f'\left(x\right)=-4x+3
2ème étape : calculer f(1)f\left(1\right)
f(1)=2×12+3×15f\left(1\right)=-2\times 1^{2} +3\times 1-5
f(1)=4f\left(1\right)=-4
3ème étape : calculer f(1)f'\left(1\right)
f(1)=4×1+3f'\left(1\right)=-4\times 1+3
f(1)=1f'\left(1\right)=-1
4ème étape : on remplace les valeurs de f(1)f\left(1\right) et de f(1)f'\left(1\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
y=(1)×(x1)4y=\left(-1\right)\times \left(x-1\right)-4
y=x+14y=-x+1-4
y=x3y=-x-3
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 11 est alors y=x3y=-x-3.
Question 2

f(x)=x3+3x5 ;a=2f\left(x\right)=-x^{3} +3x-5~; a=2

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=2a=2, ce qui donne, y=f(2)(x2)+f(2)y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right).
1ère étape : calculer la dérivée de ff
f(x)=3×x2+3f'\left(x\right)=-3\times x^{2} +3
f(x)=3x2+3f'\left(x\right)=-3x^{2} +3
2ème étape : calculer f(2)f\left(2\right)
f(2)=23+3×25f\left(2\right)=-2^{3} +3\times 2-5
f(2)=7f\left(2\right)=-7
3ème étape : calculer f(2)f'\left(2\right)
f(2)=3×22+3f'\left(2\right)=-3\times 2^{2} +3
f(2)=9f'\left(2\right)=-9
4ème étape : on remplace les valeurs de f(2)f\left(2\right) et de f(2)f'\left(2\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(2)(x2)+f(2)y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)
y=9×(x2)7y=-9\times \left(x-2\right)-7
y=9x+187y=-9x+18-7
y=9x+11y=-9x+11
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 22 est alors y=9x+11y=-9x+11
Question 3

f(x)=2x14x+3 ;a=2f\left(x\right)=\frac{2x-1}{4x+3}~; a=-2

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=2a=-2, ce qui donne, y=f(2)(x(2))+f(2)y=f'\left(-2\right)\left(x-\left(-2\right)\right)+f\left(-2\right) que l'on peut écrire y=f(2)(x+2)+f(2)y=f'\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)
1ère étape : calculer la dérivée de ff
On reconnaît la forme (uv)=uvuvv2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=2x1u\left(x\right)=2x-1 et v(x)=4x+3v\left(x\right)=4x+3
Ainsi : u(x)=2u'\left(x\right)=2 et v(x)=4v'\left(x\right)=4.
Il vient alors que :
f(x)=2×(4x+3)(2x1)×4(4x+3)2f'\left(x\right)=\frac{2\times \left(4x+3\right)-\left(2x-1\right)\times 4}{\left(4x+3\right)^{2} }
f(x)=2×4x+2×3(2x×41×4)(4x+3)2f'\left(x\right)=\frac{2\times 4x+2\times 3-\left(2x\times 4-1\times 4\right)}{\left(4x+3\right)^{2} }
f(x)=8x+6(8x4)(4x+3)2f'\left(x\right)=\frac{8x+6-\left(8x-4\right)}{\left(4x+3\right)^{2} }
f(x)=8x+68x+4(4x+3)2f'\left(x\right)=\frac{8x+6-8x+4}{\left(4x+3\right)^{2} }
f(x)=10(4x+3)2f'\left(x\right)=\frac{10}{\left(4x+3\right)^{2} }
2ème étape : calculer f(2)f\left(-2\right)
f(2)=2×(2)14×(2)+3f\left(-2\right)=\frac{2\times\left(-2\right)-1}{4\times\left(-2\right)+3}
f(2)=1f\left(-2\right)=1
3ème étape : calculer f(2)f'\left(-2\right)
f(2)=10(4×(2)+3)2f'\left(-2\right)=\frac{10}{\left(4\times\left(-2\right)+3\right)^{2} }
f(2)=25f'\left(-2\right)=\frac{2}{5}
4ème étape : on remplace les valeurs de f(2)f\left(-2\right) et de f(2)f'\left(-2\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(2)(x+2)+f(2)y=f'\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)
y=25×(x+2)+1y=\frac{2}{5}\times \left(x+2\right)+1
y=25x+45+1y=\frac{2}{5}x+\frac{4}{5}+1
y=25x+95y=\frac{2}{5}x+\frac{9}{5}
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 2-2 est alors y=25x+95y=\frac{2}{5}x+\frac{9}{5}.