Estimation et intervalles

Intervalle de fluctuation - Exercice 1

15 min
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Dans cet exercice, on donne une proportion pp d'un caractère donné dans une population et la taille nn d'un échantillon extrait de cette population.
Dire dans chaque cas si les conditions de validité d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont remplies.
Lorsque cela est possible, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique :
Question 1

n=200n=200 et p=0,5p=0,5 au seuil de 95%95\%

Correction
Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30n\ge 30 , np≥5np\ge 5 et n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5
  • 200≥30200\ge 30 donc n≥30n\ge 30
  • 200×0,5=100200\times 0,5=100 donc np≥5np\ge 5
  • 200×(1−0,5)=100200\times \left(1-0,5\right)=100 donc n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% .
On a alors :
I=[p−1,96×p×(1−p)n;p+1,96×p×(1−p)n]I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]
I=[0,5−1,96×0,5×(1−0,5)200;0,5+1,96×0,5×(1−0,5)200]I=\left[0,5-1,96\times \frac{\sqrt{0,5\times \left(1-0,5\right)} }{\sqrt{200} } ;0,5+1,96\times \frac{\sqrt{0,5\times \left(1-0,5\right)} }{\sqrt{200} } \right]
I=[0,43;0,57].I=\left[0,43;0,57\right] .
Ici 0,430,43 est une valeur approchée par défaut de 0,5−1,96×0,5×(1−0,5)2000,5-1,96\times \frac{\sqrt{0,5\times \left(1-0,5\right)} }{\sqrt{200} }
Ici 0,570,57 est une valeur approchée par excès de 0,5+1,96×0,5×(1−0,5)2000,5+1,96\times \frac{\sqrt{0,5\times \left(1-0,5\right)} }{\sqrt{200} }
Question 2

n=200n=200 et p=0,01p=0,01 au seuil de 95%95\%

Correction
Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30n\ge 30 , np≥5np\ge 5 et n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5
  • 200≥30200\ge 30 donc n≥30n\ge 30
  • 200×0,01=2200\times 0,01=2 mais npnp n'est pas supérieur à 5 donc on ne peut pas calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% .
Question 3

n=50n=50 et p=0,95p=0,95 au seuil de 99%99\%

Correction
Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30n\ge 30 , np≥5np\ge 5 et n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5
  • 50≥3050\ge 30 donc n≥30n\ge 30
  • 50×0,95=47,550\times 0,95=47,5 donc np≥5np\ge 5
  • 50×(1−0,95)=2,550\times \left(1-0,95\right)=2,5 donc n(1−p)n\left(1-p\right) n'est pas supérieur à 5 donc on ne peut pas calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 99%99\% .
Question 4

n=10000n=10000 et p=10−3p=10^{-3} au seuil de 99%99\%

Correction
Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30n\ge 30 , np≥5np\ge 5 et n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5
  • 10000≥3010000\ge 30 donc n≥30n\ge 30
  • 10000×10−3=1010000\times 10^{-3} =10 donc np≥5np\ge 5
  • 10000×(1−10−3)=99910000\times \left(1-10^{-3} \right)=999 donc n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5

Les trois conditions sont réalisées , on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 99%99\% .
Lorsque nous effectuons un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 99%99\% , on aura Uα=2,58U_{\alpha } =2,58.
On a alors :
I=[p−2,58×p×(1−p)n;p+2,58×p×(1−p)n]I=\left[p-2,58\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+2,58\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]
I=[10−3−2,58×10−3×(1−10−3)10000;10−3+2,58×10−3×(1−10−3)10000]I=\left[10^{-3} -2,58\times \frac{\sqrt{10^{-3} \times \left(1-10^{-3} \right)} }{\sqrt{10000} } ;10^{-3} +2,58\times \frac{\sqrt{10^{-3} \times \left(1-10^{-3} \right)} }{\sqrt{10000} } \right]
I=[0,000184;0,00181]I=\left[0,000184;0,00181\right]
Ici 0,0001840,000184 est une valeur approchée par défaut de 10−3−2,58×10−3×(1−10−3)1000010^{-3} -2,58\times \frac{\sqrt{10^{-3} \times \left(1-10^{-3} \right)} }{\sqrt{10000} }
Ici 0,001810,00181 est une valeur approchée par excès de 10−3+2,58×10−3×(1−10−3)1000010^{-3} +2,58\times \frac{\sqrt{10^{-3} \times \left(1-10^{-3} \right)} }{\sqrt{10000} }