Exercices types : $$2$$^ème< partie - Exercice 1

Il s'agit de l'évènement $$G\cap R$$ . Ainsi :
$$P\left(G\cap R\right)=P\left(G\right)\times P_{G} \left(R\right)$$
$$P\left(G\cap R\right)=0,2\times 0,01$$

$$G$$ et $$\overline{G}$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
$$P\left(R\right)=P\left(G\cap R\right)+P\left(\overline{G}\cap R\right)$$
$$P\left(R\right)=P\left(G\right)\times P_{G} \left(R\right)+P\left(\overline{G}\right)\times P_{\overline{G}} \left(R\right)$$
Soit : $$P\left(R\right)=0,2\times 0,01 +0,8\times 0,1$$
Ainsi :

Il s'agit ici d'une probabilité conditionnelle.
Il vient alors que :
$$P_{R} \left(G\right)=\frac{P\left(G\cap R\right)}{P\left(R\right)}$$
$$P_{R} \left(G\right)=\frac{P\left(G\right)\times P_{G} \left(R\right)}{P\left(R\right)}$$
$$P_{R} \left(G\right)=\frac{0,2\times 0,01}{0,082}$$ d'où :

Soit $$X$$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le coût d’entretien d’une voiture.
On va calculer le coût moyen par voiture qui correspond à l’espérance mathématique de $$X$$. Il y a trois $${\color{blue}\text{trois}}$$ cas de figures :

$${\color{red}G}$$ qui correspond à une voiture sous garantie dont la probabilité est $$0,2$$ et qui nécessite $$0$$ euros de dépense.

$${\color{red}\overline{G}\cap \overline{R}}$$ qui correspond à une voiture qui n’est plus sous garantie mais qui ne nécessite pas de réparation, dont la probabilité est $$p\left(\overline{G}\cap \overline{R}\right)=0,8\times 0,9=0,72$$ et qui nécessite 100 euros de dépense.

$${\color{red}\overline{G}\cap R}$$ qui correspond à une voiture qui n’est plus sous garantie mais qui nécessite une réparation, dont la probabilité est $$p\left(\overline{G}\cap R\right)=0,8\times 0,1=0,08$$ et qui nécessite $$100+400=500$$ euros de dépense.

La loi de probabilité de $$X$$ est donnée ci-dessous :Calcul de l'espérance
$$E\left(X\right)=0\times 0,2 +100\times 0,72 +500\times 0,08$$
Soit
Chaque voiture coûte en moyenne $$112$$ euros .
il y a $$2$$ $$500$$ voitures, ce qui fait une dépense totale de $$112\times2500=280$$ $$000$$ euros .
Le budget de $$250$$ $$000$$ euros est alors insuffisant.

Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$ avec $$p=0,8$$ et $$n=600$$ .

• $$600\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$600\times 0,8=480$$ donc $$np\ge 5$$
• $$600\times \left(1-0,8\right)=120$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,8-1,96\times \frac{\sqrt{0,8\times \left(1-0,8\right)} }{\sqrt{600} } ;0,8+1,96\times \frac{\sqrt{0,8\times \left(1-0,8\right)} }{\sqrt{600} } \right]$$
$$I=\left[0,767;0,833\right] .$$
Ici $$0,767$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,8-1,96\times \frac{\sqrt{0,8\times \left(1-0,8\right)} }{\sqrt{600} }$$
Ici $$0,833$$ est une valeur approchée par excès de $$0,8+1,96\times \frac{\sqrt{0,8\times \left(1-0,8\right)} }{\sqrt{600} }$$

Sur les $$600$$ derniers contrats signés l’année précédente, $$550$$ étaient des contrats de courte durée.
On détermine la fréquence des contrats de courte durée dans l'échantillon, il vient alors que :
$$f_{obs} =\frac{550}{600} \approx0,917$$
Or $$f_{obs} \notin \left[0,767;0,833\right]$$, donc la fréquence $$f_{obs}$$ des contrats de courte durée n'est pas dans l'intervalle. Donc, au risque de $$5\%$$, l’affirmation de la directrice n’est pas correcte.

Nous devons calculer $$P\left(500\le Y\le 600\right)$$

Avec une calculatrice Texas, pour $$P\left(500\le Y\le 600\right)$$ on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep($$500$$ , $$600$$ , $$450$$ , $$100$$) puis on tape sur Enter et on obtient :

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour $$P\left(500\le Y\le 600\right)$$ on tape :

Puis on tape sur EXE et on obtient :

Nous devons calculer $$P\left(Y\le a\right)=0,15$$

Avec une calculatrice Texas, pour $$P\left(Y\le a\right)=0,15$$ on tape InvNorm(valeur donnée, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici InvNorm($$0.15$$ , $$450$$, $$100$$) puis on tape sur Enter et on obtient :

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour $$P\left(Y\le a\right)=0,15$$ on tape :

puis on tape sur EXE et on obtient :

En-dessous de $$346$$ km hebdomadaire, un client sera alors concerné par l'offre promotionnelle.