Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande bien sûr de justifier.
On utilise l'intervalle de fluctuation asymptotique quand on connait une proportion « théorique » p dans une population et qu'on veut savoir si un échantillon peut être considéré comme issu de cette population.
On utilise l'intervalle de confiance quand on connait une fréquence f dans un échantillon et que l'on souhaite savoir si une proportion « théorique » p dans une population générale est contenu dans cet intervalle.
Question 1
Dans un village de 900 personnes, la fréquence de gagner à la tombola du village est de 0,005. Alors :
On ne peut pas définir un intervalle asymptotique au seuil de 95%.
On peut définir un intervalle asymptotique au seuil de 95%.
L'espérance mathématique est positive.
Correction
La proposition correcte est la proposition a. Il faut vérifier les conditions suivantes : n≥30 , np≥5 et n(1−p)≥5
900≥30 donc n≥30
900×0,005=4,5 donc np≥5 n'est pas vérifiée !
On ne peut pas définir un intervalle asymptotique au seuil de 95%.
Question 2
Sur une population de malades, un gène est altéré dans 6% des cas. On prélève au hasard un échantillon de 100 personnes malades. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de personne malade ayant le gène altéré dans cet échantillon est :
[0,013;0,108]
[0,014;0,108]
[0,013;0,107]
(Les bornes de chaque intervalle sont données à 10−3 près)
Correction
La proposition correcte est la proposition c. Il faut vérifier les conditions suivantes : n≥30 , np≥5 et n(1−p)≥5
100≥30 donc n≥30
100×0,06=6 donc np≥5
100×(1−0,06)=94 donc n(1−p)≥5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On a alors : I=[p−1,96×np×(1−p);p+1,96×np×(1−p)] I=[0,06−1,96×1000,06×(1−0,06);0,06+1,96×1000,06×(1−0,06)] I=[0,013;0,107]. Ici 0,013 est une valeur approchée par défaut de 0,06−1,96×1000,06×(1−0,06) Ici 0,107 est une valeur approchée par excès de 0,06+1,96×1000,06×(1−0,06)
Question 3
On sait que, si on lance un dé équilibré, la probabilité d'obtenir 1 est de 61. Lina a lancé 90 fois un dé et obtenu 27 fois 1. Elle peut en conclure, au seuil de 95% que :
Le dé est équilibré
Le dé est pipé
On ne peut rien conclure
Correction
La proposition correcte est la proposition b. Il faut vérifier les conditions suivantes : n≥30 , np≥5 et n(1−p)≥5
90≥30 donc n≥30
90×61=15 donc np≥5
90×(1−61)=75 donc n(1−p)≥5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On a alors : I=[p−1,96×np×(1−p);p+1,96×np×(1−p)] I=⎣⎡61−1,96×9061×(1−61);61+1,96×9061×(1−61)⎦⎤ I=[0,089;0,244] Ici 0,089 est une valeur approchée par défaut de 61−1,96×9061×(1−61) Ici 0,244 est une valeur approchée par excès de 61+1,96×9061×(1−61) On rappelle que Lina a lancé 90 fois un dé et obtenu 27 fois 1 donc la fréquence observée de 1 est de fobs=9027=0,3. Or fobs∈/[0,089;0,244], le dé est donc pipé.
Question 4
Dans un village en inde, on a observé 700 naissances de garçons sur 1080 naissances. On peut en conclure, au niveau de confiance à 95%, que :
Il y a autant de naissances de garçons que de filles.
Il y a une différence significative entre le nombre de naissances de filles et de garçons.
On ne peut rien conclure.
Correction
La proposition correcte est la proposition b. On sait que l'on a une chance sur deux d'avoir un garçon, ainsi p=21 et que n=700. Dans l'exercice, nous avons fobs=1080700 donc fobs=5435≈0,65.
Or n=1080≥30
1080×5435=700 donc n×fobs≥5
1080×(1−5435)=380 donc n×(1−fobs)≥5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de confiance. Il vient alors : I=[5435−10801;5435+10801] donc I=[0,617;0,679] Ici 0,617 est une valeur approchée par défaut de 5435−10801 Ici 0,679 est une valeur approchée par excès de 5435+10801 Or p∈/[0,617;0,679] c'est à dire 0,5∈/[0,617;0,679] Cet intervalle ne contient par 0,5 donc il n'y a pas autant de naissances de garçons que de filles. Autrement dit, il y a une différence significative entre le nombre de naissances de filles et de garçons.
Question 5
Un professeur de mathématiques a constaté sur un trimestre que sur les 120 élèves interrogés, 80 n'avait pas correctement réalisés leurs exercices. Le professeur peut en conclure, au niveau de confiance de 95%, que :
Au moins 57% des élèves n'avaient pas réalisé correctement leurs exercices.
32 des élèves n'avaient pas réalisé correctement leurs exercices.
Que les élèves ne travaillent pas assez !
Correction
La proposition correcte est la proposition a. On ne connaît pas la valeur de p mais on connait la taille de l'échantillon n=120. Dans l'exercice, nous avons fobs=12080 donc fobs=32.
Or n=120≥30
120×32=80 donc n×fobs≥5
120×(1−32)=40 donc n×(1−fobs)≥5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de confiance. Il vient alors : I=[32−1201;32+1201] donc I=[0,575;0,758] Ici 0,575 est une valeur approchée par défaut de 32−1201 Ici 0,758 est une valeur approchée par excès de 32+1201 Le professeur peut en conclure, au niveau de confiance de 95%, qu'au minimum 57,5% des élèves n'avaient pas réalisé correctement leurs exercices.
Question 6
Un candidat à une élection commande un sondage portant sur n personnes choisies au hasard. Lors de son précédent sondage la proportion de personnes votant pour ce candidat était de 52%. Quelle devrait être la taille n de l'échantillon pour que, avec la même proportion de personnes favorables, le candidat soit quasiment sûr d'être élu ?
n≥2499
n≥2500
n≥2501
Correction
La proposition correcte est la proposition b. Ici on connaît la valeur de la fréquence observée sur l'échantillon qui est f=0,52. On souhaite donc construire un intervalle de confiance de la forme [f−n1;f+n1] où la borne inférieure f−n1 doit être supérieure ou égale à 0,5 afin que le candidat soit quasiment sur d'être élu. Ainsi : f−n1≥0,5 équivaut successivement à 0,52−n1≥0,5 −n1≥0,5−0,52 −n1≥−0,02 n1≤0,02 (on a multiplié par −1, on change donc le sens de l'inéquation ) n≥0,021 (on inverse les quotients , on change donc aussi le sens de l'inéquation ) n≥(0,021)2
n≥2500
Question 7
Un magicien affirme être capable, dans 75% des cas, de deviner la carte tirée par une personne dans un jeu de 32 cartes. Lors de son spectacle, le magicien répond correctement 26 fois sur 35.
Le magicien a dit vrai.
Le magicien ment.
Ni l'un ni l'autre.
Correction
La proposition correcte est la proposition a. Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30 , np≥5 et n(1−p)≥5
35≥30 donc n≥30
35×0,75=26,25 donc np≥5
35×(1−0,75)=8,75 donc n(1−p)≥5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On a alors : I=[p−1,96×np×(1−p);p+1,96×np×(1−p)] I=[0,75−1,96×350,75×(1−0,75);0,75+1,96×350,75×(1−0,75)] I=[0,606;0,894] Ici 0,606 est une valeur approchée par défaut de 0,75−1,96×350,75×(1−0,75) Ici 0,894 est une valeur approchée par excès de 0,75+1,96×350,75×(1−0,75) Lors de son spectacle, le magicien répond correctement 26 fois sur 35, donc la fréquence observée de bonnes réponses est de fobs=3526≈0,742. Or fobs∈[0,606;0,894], le magicien a dit vrai.