Probabilités conditionnelles et loi binomiale

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

30 min
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Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 3535% des plants proviennent de l’horticulteur H1H_{1}, 2525% de l’horticulteur H2H_{2} et le reste de l’horticulteur H3H_{3}. Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l’horticulteur H1H_{1} comporte 8080% de conifères alors que celle de l’horticulteur H2H_{2} n’en comporte que 5050% et celle de l’horticulteur H3H_{3} seulement 3030%.
Question 1
Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les événements suivants :
  • H1H_{1} : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H1H_{1}".
  • H2H_{2} : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H2H_{2}".
  • H3H_{3} : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H3H_{3}".
  • CC : " l'arbre choisi est un conifère".
  • FF : " l'arbre choisi est un feuillu".

Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

Correction
Puisque le choix de l’arbre se fait au hasard dans le stock de la jardinerie, on assimile les proportions données à des probabilités.
L'arbre pondéré traduisant la situation est :
Question 2

Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3H_{3}.

Correction
On cherche à calculer la probabilité de l’intersection H3CH_{3} \cap C.
Il en résulte que :
P(H3C)=P(H3)×PH3(C)P\left(H_{3} \cap C\right)=P\left(H_{3}\right)\times P_{H_{3}} \left(C\right)
P(H3C)=0,4×0,3P\left(H_{3} \cap C\right)=0,4\times 0,3
D'où :
P(H3C)=0,12P\left(H_{3} \cap C\right)=0,12

Question 3

Justifier que la probabilité de l’évènement CC est égale à 0,5250,525.

Correction
Les évènements H1H_{1}, H2H_{2} et H3H_{3} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
p(C)=P(H1C)+P(H2C)+P(H3C)p\left(C\right)=P\left(H_{1} \cap C\right)+P\left(H_{2} \cap C\right)+P\left(H_{3} \cap C\right) équivaut successivement à :
p(C)=P(H1)×PH1(C)+P(H2)×PH2(C)+P(H3)×PH3(C)p\left(C\right)=P\left(H_{1}\right)\times P_{H_{1}} \left(C\right)+P\left(H_{2}\right)\times P_{H_{2}} \left(C\right)+P\left(H_{3}\right)\times P_{H_{3}} \left(C\right)
p(C)=0,35×0,8+0,25×0,5+0,4×0,3p\left(C\right)=0,35\times 0,8+0,25\times 0,5+0,4\times 0,3
Ainsi :
p(C)=0,525p\left(C\right)=0,525

Question 4

L’arbre choisi est un conifère.
Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H1H_{1} ? On arrondira à 10310^{-3}.

Correction
On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que l'arbre choisi est un conifère, quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l’horticulteur H1H_{1}.
PC(H1)=P(H1C)P(C)P_{C} \left(H_{1}\right)=\frac{P\left(H_{1}\cap C\right)}{P\left(C\right)}
PC(H1)=0,35×0,80,525P_{C} \left(H_{1}\right)=\frac{0,35\times 0,8}{0,525}
PC(H1)0,533P_{C} \left(H_{1}\right)\approx0,533

Question 5
On choisit au hasard un échantillon de 1010 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 1010 arbres dans le stock. On appelle XX la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.

Justifier que XX suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Correction
A chaque tirage la probabilité de tirer un conifère est 0,5250,525.
On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès « tirer un conifère » avec la probabilité p=0,525p=0,525
On appelle échec « ne pas tirer un conifère » avec la probabilité 1p=0,4751-p=0,475
On répète dix fois de suite cette expérience de façon indépendante.
XX est la variable aléatoire qui associe le nombre de conifères de l’échantillon .
XX suit la loi binomiale de paramètre n=10n=10 et p=0,525p=0,525 .
On note alors XX\simB(10;0,525)B\left(10;0,525\right)

Question 6

Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 55 conifères? On arrondira à 10310^{-3}.

Correction
La probabilité demandée ici est celle de P(X=5)P\left(X=5\right) :
Avec une Texas :\red{\text{Avec une Texas :}} pour P(X=5)P\left(X=5\right) on tape :
2nd - DISTR -- puis choisir
BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp(1010, 0.5250.525 , 55) puis on tape sur enter et on obtient :
P(X=5)0,243P\left(X=5\right)\approx 0,243
arrondi à 10310^{-3} près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.

Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modeˋle supeˊrieur :\red{\text{Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modèle supérieur :}} pour P(X=5)P\left(X=5\right) on tape :
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.
On remplit le tableau de la manière qui suit :
D.P. Binomiale
Data Variable
xx : 55 Valeur de k
Numtrial : 1010 Valeur de nn
pp : 0,5250,525 Valeur de pp

puis on tape sur EXE et on obtient :
P(X=5)0,243P\left(X=5\right)\approx 0,243
arrondi à 10310^{-3} près.
Question 7

Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus? On arrondira à 10310^{-3}.

Correction
Cette fois, la probabilité demandée est celle de X8X\le 8 c'est à dire que l'on aura au maximum 88 conifères.
P(X8)=1P(X=9)P(X=10)P\left(X\le 8\right)=1-P\left(X=9\right)-P\left(X=10\right)
P(X8)0,984P\left(X\le 8\right)\approx0,984
arrondi à 10310^{-3} près.
Avec la calculatrice, il faut utiliser BinomFrep avec une texas ou alors Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR avec une casio.