Probabilités conditionnelles et loi binomiale

Exercices types : 11ère partie

Exercice 1

Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 3535% des plants proviennent de l’horticulteur H1H_{1}, 2525% de l’horticulteur H2H_{2} et le reste de l’horticulteur H3H_{3}. Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l’horticulteur H1H_{1} comporte 8080% de conifères alors que celle de l’horticulteur H2H_{2} n’en comporte que 5050% et celle de l’horticulteur H3H_{3} seulement 3030%.
Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les événements suivants :
  • H1H_{1} : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H1H_{1}".
  • H2H_{2} : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H2H_{2}".
  • H3H_{3} : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H3H_{3}".
  • CC : " l'arbre choisi est un conifère".
  • FF : " l'arbre choisi est un feuillu".
1

Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

Correction
2

Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3H_{3}.

Correction
3

Justifier que la probabilité de l’évènement CC est égale à 0,5250,525.

Correction

4

L’arbre choisi est un conifère.
Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H1H_{1} ? On arrondira à 10310^{-3}.

Correction
On choisit au hasard un échantillon de 1010 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 1010 arbres dans le stock. On appelle XX la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.
5

Justifier que XX suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Correction
6

Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 55 conifères? On arrondira à 10310^{-3}.

Correction
7

Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus? On arrondira à 10310^{-3}.

Correction

Exercice 2

Partie A
On choisit un client au hasard et on définit les évènements :
  • AA : « le client consomme des produits BIO »
  • BB : « le client consomme des produits français »

3030% des clients affirment consommer BIO. Parmi ces clients, 4040% consomment des produits Français.
De plus, 3232% des clients affirment consommer des produits non Français.
1

Déterminer la probabilité qu'un client consomme des produits BIO étrangers.

Correction
2

Déterminer la probabilité qu'un client ne consomme pas de produits BIO mais consomme des produits étrangers.

Correction
3

Le client consomme des produits étrangers.
Quelle est la probabilité qu'il ne consomme pas de produits BIO ?

Correction
Partie B
On interroge successivement et de façon indépendante 55 clients pris au hasard parmi l'ensemble de la clientèle.
On note XX la variable aléatoire égale au nombre de clients consommant français.
4

Définir la loi XX et indiquer ses paramètres.

Correction
5

Quelle est la probabilité qu'il y ait exactement deux clients consommant français ?

Correction

Exercice 3

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif. L’enquête révèle que 7070% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 8080% pratiquent le tri sélectif. Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 1010% qui pratiquent le tri sélectif.
On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :
  • SS : L’élève interrogé est sensible au développement durable.
  • TT : L’élève interrogé pratique le tri sélectif.
  • Les résultats seront arrondis à 10210^{-2}
    1

    Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

    Correction
    2

    Calculer la probabilité que l’élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.

    Correction
    3

    Montrer que la probabilité P(T)P\left(T\right) de l’évènement TT est 0,590,59.

    Correction
    4

    On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif. Peut-on affirmer que les chances qu’il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 1010%?

    Correction
    On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l’établissement. Soit XX la variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves pratiquant le tri sélectif parmi les 44 élèves interrogés.
    5

    Définir la loi XX et indiquer ses paramètres.

    Correction
    6

    Calculer la probabilité qu’aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.

    Correction
    7

    Calculer la probabilité qu’au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le tri sélectif.

    Correction
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