Exercice 3 - Exercice 1

D'après une enquête menée auprès d'une population, on a constaté que :
$$60\%$$ de la population sont des femmes ;
$$56\%$$ des femmes travaillent à temps partiel ;
$$36\%$$ de la population travaillent à temps partiel.
On interroge une personne dans la population.
Elle affirme qu'elle travaille à temps partiel.
On note :
$$F$$ l'événement « la personne interrogée est une femme » ;
$$H$$ l'événement « la personne interrogée est un homme » ;
$$P$$ l'événement « la personne interrogée travaille à temps partiel » ;
$$\overline{P}$$ l'événement « la personne interrogée ne travaille pas à temps partiel » ;
On regroupe les données du texte dans un arbre pondéré :
On cherche à déterminer la probabilité que la personne interrogée soit un homme, c'est à dire :
$$p_{p} (H)=\frac{p\left(P\cap H\right)}{p\left(P\right)}$$
D'après le texte, $$p\left(P\right)=0,36$$.
Les évènements $$F$$et $$H$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales : $$p\left(P\right)=p\left(F\cap H\right)+p\left(H\cap P\right)$$
$$p\left(P\right)=p\left(F\right)\times p_{F} \left(P\right)+p\left(H\cap P\right)$$
On en déduit que $$0,36=0,6\times 0,56+p\left(H\cap P\right)$$ donc que $$p\left(H\cap P\right)=0,36-0,6\times 0,56=0,024$$.
Donc que :
$$p_{p} (H)=\frac{p\left(P\cap H\right)}{p\left(P\right)} =\frac{0,024}{0,236} =\frac{1}{15}$$
$$p_{p} (H)=\frac{0,024}{0,236}$$

La réponse est donc : $$p_{p} (H)=\frac{1}{15}$$