Probabilités conditionnelles et loi binomiale

Exercice 1 - Exercice 1

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Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
L'enquête révèle que 5555% des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 9595% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10%10\% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
On choisit un élève au hasard dans le lycée.
On considère les évènements suivants :
  • LL l'élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi.
  • CC l'élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
Question 1

Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

Correction
L'arbre est le suivant :
Question 2

Calculer P(LC)P(L\cap C) la probabilité de l'événement LCL\cap C

Correction
P(LC)=P(L)×PL(C)=0,55×0,95P(L\cap C)=P(L)\times P_{L} (C)=0,55\times 0,95
P(LC)=0,55×0,95P(L\cap C)=0,55\times 0,95
donc :
P(LC)=0,5225P(L\cap C)=0,5225
Question 3

Montrer que P(C)=0,5675P(C)=0,5675

Correction
Les évènements LL et L\overline{L} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
P(C)=P(LC)+P(LC)=0,5225+P(L)×PL(C)=0,5225+0,45×0,1P(C)=P(L\cap C)+P(\overline{L}\cap C)=0,5225+P(\overline{L})\times P{}_{\overline{L}} (C)=0,5225+0,45\times 0,1
P(C)=P(L)×PL(C)+P(L)×PL(C)P(C)=P(L)\times P_{L} (C)+P(\overline{L} )\times P{}_{\overline{L}} (C)
P(C)=0,5225+0,45×0,1P(C)=0,5225+0,45\times 0,1
P(C)=0,5675P(C)=0,5675
Question 4

Calculer PC(L)P_{C} (L) la probabilité de l'évènement LL « sachant l'évènement CC » réalisé.
En donner une valeur arrondie à 10410^{-4} .

Correction
PC(L)=P(LC)P(C)P_{C} (L)=\frac{P\left(L\cap C\right)}{P\left(C\right)}
PC(L)=0,52250,5675P_{C} (L)=\frac{0,5225}{0,5675}
PC(L)0,9207P_{C} (L)\approx 0,9207
Question 5
On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement.
Soit XX la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que XX suit une loi binomiale.

Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

Correction
A chaque tirage la probabilité de tirer un élève favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire est 0,56750,5675.
On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès « tirer un élève favorable » avec la probabilité p=0,5675p=0,5675.
On appelle échec « tirer un élève défavorable » avec la probabilité 1p=0,43251-p=0,4325
On répète dix fois de suite cette expérience de façon indépendante.
XX est la variable aléatoire qui associe le nombre d'étudiants à réussir le TOEIC.
XX suit la loi binomiale de paramètre n=4n=4 et p=0,5675p=0,5675.
On note alors
XX \sim B(4;0,5675)B\left(4;0,5675\right)
Question 6

Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
En donner une valeur arrondie à 10310^{-3} près.

Correction
On doit calculer P(X=0)P\left(X=0\right).
Pour le calcul de P(X=0)P\left(X=0\right)
Avec une Texas , on tape pour P(X=0)P\left(X=0\right) (cf. fiche « Utiliser la loi binomiale avec une Texas »)
2nd{}^{nd} - DISTR -- puis choisir
BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k ) c'est-à-dire ici BinomFdp(44, 0.56750.5675 , 00) puis taper sur enter et vous obtiendrez
P(X=0)0,035P\left(X=0\right)\approx 0,035
arrondi à 10310^{-3} près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.
Autrement dit, il y a 3,53,5% de chance qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
Avec une Casio Graph 35+35+ ou modèle supérieur, on tape pour P(X=0)P\left(X=0\right) (cf. fiche « Utiliser la loi binomiale avec une Casio »)
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.
On remplit le tableau de la manière qui suit :
D.P. Binomiale
Data Variable
xx : 00 Valeur de k
Numtrial : 44 Valeur de nn
pp : 0,56750,5675 Valeur de pp

puis taper sur EXE et vous obtiendrez
P(X=0)0,035P\left(X=0\right)\approx 0,035
arrondi à 10310^{-3} près.
Question 7

Calculer la probabilité qu'exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.

Correction
On calcule :
P(X=2)0,361P\left(X=2\right)\approx 0,361

On fait les mêmes démarches que la question 66 ci-dessus.