Primitives et calcul intégral

Valeur moyenne - Exercice 1

6 min
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On considère la fonction ff continue sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ définie par f(x)=2x+2f\left(x\right)=2x+2
Question 1

Calculer la valeur moyenne de ff sur l'intervalle [2;6]\left[2;6\right]

Correction
ff une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right].
La valeur moyenne de la fonction ff sur [a;b]\left[a;b\right] est le réel mm défini par m=1b−a∫abf(x)dxm=\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b}f\left(x\right) dx

On commence donc à déterminer une primitive de ff.
Ainsi : F(x)=x2+2xF\left(x\right)=x^{2} +2x .
Comme on veut une primitive on n'a pas besoin de mettre le k∈Rk\in \mathbb{R}
Ensuite, on applique la formule de la valeur moyenne :
m=16−2∫26(2x+2)dxm=\frac{1}{6-2} \int _{2}^{6}\left(2x+2\right) dx équivaut successivement à :
m=14(F(6)−F(2))m=\frac{1}{4} \left(F\left(6\right)-F\left(2\right)\right)
m=14((62+2×6)−(22+2×2))m=\frac{1}{4} \left(\left(6^{2} +2\times 6\right)-\left(2^{2} +2\times 2\right)\right)
Finalement :
m=10m=10