Primitives et calcul intégral

Primitives de la forme eax+be^{ax+b} - Exercice 1

6 min
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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes.
Question 1

f(x)=3e2x+1f\left(x\right)=3e^{2x+1}

Correction
Une primitive de eax+be^{ax+b} est 1aeax+b\frac{1}{a} e^{ax+b}

On a : f(x)=3e2x+1f\left(x\right)=3e^{2x+1} , ici ax+bax+b correspond à 2x+12x+1.
Donc : a=2a=2
Il en résulte que : F(x)=3×12e2x+1+kF\left(x\right)=3\times \frac{1}{2} e^{2x+1} +k
Autrement dit : F(x)=32e2x+1+kF\left(x\right)=\frac{3}{2} e^{2x+1} +k
Question 2

g(x)=−e6x−4g\left(x\right)=-e^{6x-4}

Correction
Une primitive de eax+be^{ax+b} est 1aeax+b\frac{1}{a} e^{ax+b}

On a : g(x)=−e6x−4g\left(x\right)=-e^{6x-4} , ici ax+bax+b correspond à 6x−46x-4.
Donc : a=6a=6
Il en résulte que : G(x)=−16e6x−4+kG\left(x\right)=-\frac{1}{6} e^{6x-4} +k
Question 3

h(x)=2e4x+5h\left(x\right)=2e^{4x+5}

Correction
Une primitive de eax+be^{ax+b} est 1aeax+b\frac{1}{a} e^{ax+b}

On a : h(x)=2e4x+5h\left(x\right)=2e^{4x+5} , ici ax+bax+b correspond à 4x+54x+5.
Donc : a=4a=4
Il en résulte que : H(x)=2×14e4x+5+kH\left(x\right)=2\times \frac{1}{4} e^{4x+5} +k
Autrement dit : H(x)=12e4x+5+kH\left(x\right)=\frac{1}{2} e^{4x+5} +k