Primitives et calcul intégral

Calculs de primitives - Exercice 1

25 min
35
On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes.
Question 1

a(x)=4x+1a\left(x\right)=4x+1

Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • Nous pouvons écrire : a(x)=4x1+1a\left(x\right)=4x^{1}+1
    A(x)=4×11+1x1+1+x+kA\left(x\right)=4\times\frac{1}{1+1}x^{1+1} +x+k
    A(x)=4×12x2+x+kA\left(x\right)=4\times\frac{1}{2}x^{2} +x+k
    A(x)=2x2+x+kA\left(x\right)=2x^{2} +x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    m(x)=−3x+8m\left(x\right)=-3x+8

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • Nous pouvons écrire : m(x)=−3x+8m\left(x\right)=-3x+8
    M(x)=−3×11+1x1+1+8x+kM\left(x\right)=-3\times\frac{1}{1+1}x^{1+1} +8x+k
    M(x)=−3×12x2+8x+kM\left(x\right)=-3\times\frac{1}{2}x^{2} +8x+k
    M(x)=−32x2+8x+kM\left(x\right)=-\frac{3}{2}x^{2} +8x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    b(x)=−x2+3x+6b\left(x\right)=-x^{2} +3x+6

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • B(x)=−12+1x2+1+3×11+1x1+1+6x+kB\left(x\right)=-\frac{1}{2+1} x^{2+1} +3\times\frac{1}{1+1} x^{1+1} +6x+k
    B(x)=−13x3+3×12x2+6x+kB\left(x\right)=-\frac{1}{3} x^{3} +3\times\frac{1}{2} x^{2} +6x+k
    B(x)=−13x3+32x2+6x+kB\left(x\right)=-\frac{1}{3} x^{3} +\frac{3}{2} x^{2} +6x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 4

    c(x)=2x3−5x2+12x−3c\left(x\right)=2x^{3} -5x^{2} +\frac{1}{2} x-3

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • C(x)=2×14x4−5×13x3+12×12x2−3x+kC\left(x\right)=2\times\frac{1}{4} x^{4} -5\times\frac{1}{3} x^{3} +\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} x^{2} -3x+k
    C(x)=12x4−53x3+14x2−3x+kC\left(x\right)=\frac{1}{2} x^{4} -\frac{5}{3} x^{3} +\frac{1}{4} x^{2} -3x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 5

    m(x)=−5x7+3x6+11x5+2x4−7x3+8x2−7x+2m\left(x\right)=-5x^{7} +3x^{6} +11x^{5} +2x^{4} -7x^{3} +8x^{2} -7x+2

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • M(x)=−5×18x8+3×17x7+11×16x6+2×15x5−7×14x4+8×13x3−7×12x2+2x+kM\left(x\right)=-5\times \frac{1}{8} x^{8} +3\times \frac{1}{7} x^{7} +11\times \frac{1}{6} x^{6} +2\times \frac{1}{5} x^{5} -7\times \frac{1}{4} x^{4} +8\times \frac{1}{3} x^{3} -7\times \frac{1}{2} x^{2} +2x+k
    M(x)=−58x8+37x7+116x6+25x5−74x4+83x3−72x2+2x+kM\left(x\right)=-\frac{5}{8} x^{8} +\frac{3}{7} x^{7} +\frac{11}{6} x^{6} +\frac{2}{5} x^{5} -\frac{7}{4} x^{4} +\frac{8}{3} x^{3} -\frac{7}{2} x^{2} +2x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 6

    d(x)=4x4−x3+25d\left(x\right)=\frac{4x^{4} -x^{3} +2}{5}

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • On va commencer par écrire la fonction plus simplement :
    d(x)=4x4−x3+25⇔d(x)=45x4−15x3+25d\left(x\right)=\frac{4x^{4} -x^{3} +2}{5} \Leftrightarrow d\left(x\right)=\frac{4}{5} x^{4} -\frac{1}{5} x^{3} +\frac{2}{5}
    Maintenant on va calculer les primitives de dd.
    D(x)=45×15x5−15×14x4+25x+kD\left(x\right)=\frac{4}{5}\times \frac{1}{5}x^{5} -\frac{1}{5}\times \frac{1}{4} x^{4} +\frac{2}{5} x+k
    D(x)=425x5−120x4+25x+kD\left(x\right)=\frac{4}{25} x^{5} -\frac{1}{20} x^{4} +\frac{2}{5} x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 7

    e(x)=(x−1)(3x+4)e\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(3x+4\right)

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • Commençons par développer l'expression, puis ensuite nous calculerons les primitives.
    e(x)=(x−1)(3x+4)e\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(3x+4\right) équivaut à
    e(x)=3x2+x−4e\left(x\right)=3x^{2} +x-4.
    E(x)=3×13x3+12x2−4x+kE\left(x\right)=3\times \frac{1}{3}x^{3} +\frac{1}{2} x^{2} -4x+k
    Ainsi :
    E(x)=x3+12x2−4x+kE\left(x\right)=x^{3} +\frac{1}{2} x^{2} -4x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 8

    f(x)=3x+2x2−1f\left(x\right)=3x+\frac{2}{x^{2} } -1

    Correction
  • Une primitive de 1x2\frac{1}{x^{2}} est −1x-\frac{1}{x}
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
    • F(x)=3×12x2+2×(−1x)−x+kF\left(x\right)=3\times\frac{1}{2} x^{2} +2\times\left(-\frac{1}{x}\right) -x+k
    F(x)=32x2−2x−x+kF\left(x\right)=\frac{3}{2} x^{2} -\frac{2}{x} -x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 9

    h(x)=5x−2xh\left(x\right)=\frac{5}{\sqrt{x} } -2x

    Correction
  • Une primitive de 1x\frac{1}{\sqrt{x}} est 2x2\sqrt{x}
    • H(x)=5×2x−2×12x2+kH\left(x\right)=5\times2\sqrt{x} -2\times\frac{1}{2}x^{2} +k
    H(x)=10x−x2+kH\left(x\right)=10\sqrt{x} -x^{2} +k
    où kk est une constante réelle.
    Question 10

    p(x)=2x3−3x2+2x2p\left(x\right)=\frac{2x^{3} -3x^{2} +2}{x^{2}}

    Correction
  • Une primitive de 1x2\frac{1}{x^{2}} est −1x-\frac{1}{x}
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
    • Pour tout réel xx différent de zéro.
    On va commencer par écrire la fonction plus simplement :
    p(x)=2x3−3x2+2x2⇔p(x)=2x3x2−3x2x2+2x2p\left(x\right)=\frac{2x^{3} -3x^{2} +2}{x^{2}} \Leftrightarrow p\left(x\right)=\frac{2x^{3}}{x^{2}} -\frac{3x^{2}}{x^{2}} +\frac{2}{x^{2}}
    Ainsi : p(x)=2x−3+2x2p\left(x\right)=2x-3 +\frac{2}{x^{2}}
    Maintenant on va calculer les primitives de pp.
    P(x)=2×12x2−3x+2×(−1x)+kP\left(x\right)=2\times\frac{1}{2}x^{2} -3x+2\times\left(-\frac{1}{x}\right) +k
    P(x)=x2−3x−2x+kP\left(x\right)=x^{2} -3x-\frac{2}{x} +k
    où kk est une constante réelle.
    Question 11

    l(x)=4x+2x2+13l\left(x\right)=\frac{4}{x} +\frac{2}{x^{2} } +\frac{1}{3}

    Correction
    Une primitive de ln⁡(x)\ln \left(x\right) est 1x\frac{1}{x }
    L(x)=4ln⁡(x)−2x+13x+kL\left(x\right)=4\ln \left(x\right)-\frac{2}{x} +\frac{1}{3} x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 12

    j(x)=−3ex+7x2+9x3j\left(x\right)=-3e^{x} +7x^{2} +9x^{3}

    Correction
  • Une primitive de exe^{x} est exe^{x}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • J(x)=−3ex+7×13x3+9×14x4+kJ\left(x\right)=-3e^{x} +7\times\frac{1}{3} x^{3} +9\times\frac{1}{4} x^{4} +k
    J(x)=−3ex+73x3+94x4+kJ\left(x\right)=-3e^{x} +\frac{7}{3} x^{3} +\frac{9}{4} x^{4} +k
    où kk est une constante réelle.