Rappels de première ES - Exercice 1

On a :
$$M_{1}=M_{0}+65$$ d'où $$M_{1}=1400+65$$ ainsi
$$M_{2}=M_{1}+65$$ d'où $$M_{2}=1465+65$$ ainsi

Soit $$n$$ un entier naturel.
Chaque année, le salaire de Lina augmente de $$65$$ euros. Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant $$65$$. Il en résulte donc que la suite $$\left(M_{n}\right)$$ est $${\color{blue}\text{arithmétique}}$$ de raison $$r=65$$.
On a : .
La suite $$\left(M_{n} \right)$$ est une suite arithmétique de raison $$r=65$$ et de premier terme $$M_{0}=1400$$.

D'après le cours , on sait que :
$$M_{n} =M_{0} +n\times r$$ ce qui nous donne donc : .

Comme $$M_{n} =1400+65n$$ alors $$M_{15} =1400+65\times 15$$
Ainsi : .

Nous voulons savoir quand $$M_{n}\ge 2500$$. L'inéquation s'écrit également : $$1400+65n\ge 2500$$.
$$1400+65n\ge 2500$$ équivaut succesivement à :
$$65n\ge 2500-1400$$
$$65n\ge 1100$$
$$n\ge \frac{1100}{65}$$ . or $$\frac{1100}{65}\approx16,92$$, on prend donc l'entier naturel supérieur à cette écriture décimale. Il vient alors que :
$$n\ge 17$$
Après $$17$$ années dans l'entreprise Lina aura un salaire d'au moins $$2500$$ euros.

On a :
$$J_{1}=1400+1400\times \frac{3,5}{100}$$ d'où
$$J_{2}=1449+1449\times \frac{3,5}{100}$$ d'où

Chaque année l'augmentation est de $$3,5$$% , il nous faut donc multiplier par le coefficient multiplicateur $$1+\frac{3,5}{100}=1,035$$
Ainsi, pour tout entier naturel $$n$$, on a :
. La suite $$\left(J_{n} \right)$$ est alors une suite géométrique de raison $$q=1,035$$ et de premier terme $$J_{0}=1400$$.

D'après le cours , on sait que :
$$J_{n} =J_{0} \times q^{n}$$ ce qui nous donne donc :

Comme $$J_{n} =1400\times 1,035^{n}$$ alors $$J_{15} =1400\times 1,035^{15}$$
Ainsi : .

Nous voulons savoir quand $$J_{n}\ge 2500$$. l'inéquation s'écrit également : $$1400\times 1,035^{n}\ge 2500$$
Ici nous n'allons pas résoudre algébriquement cette inéquation. Nous allons utiliser la calculatrice. Pour cela, il vous faut entrer l'expression $$1400\times 1,035^{n}$$ et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang nous avons une valeur supérieur à $$2500$$.
Nous avons les données suivantes :

• lorsque $$n=16$$ nous obtenons $$2427$$
• lorsque $$n=17$$ nous obtenons $$2512$$

Après $$17$$ années dans l'entreprise Adam aura un salaire d'au moins $$2500$$ euros.

Nous allons reprendre le même raisonnement que la question précédente. Nous allons entrer les expressions $$1400\times 1,035^{n}$$ et $$1400+65n$$ et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang le salaire d'Adam sera supérieur à celui de Lina.
Nous avons les données suivantes :

• lorsque $$n=16$$ Lina aura un salaire de $$2440$$ euros et Adam un salaire de $$2427$$
• lorsque $$n=17$$ Lina aura un salaire de $$2505$$ euros et Adam un salaire de $$2512$$

Après $$17$$ années dans l'entreprise Adam aura un salaire supérieur à celui de Lina.