Les suites numériques

Inéquations avec les suites et logarithme népérien - Exercice 1

25 min
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Ne faire cet exercice que si vous avez eˊtudieˊ la fonction logarithme neˊpeˊrien.\red{\text{Ne faire cet exercice que si vous avez étudié la fonction logarithme népérien.}}
Question 1
Soit nn un entier naturel, résoudre les inéquations suivantes :

2n≥20162^{n} \ge 2016

Correction
  • ln⁡(an)=n×ln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\times \ln \left(a\right).
2n≥20162^{n} \ge 2016 équivaut successivement à :
ln⁡(2n)≥ln⁡(2016)\ln \left(2^{n} \right)\ge \ln \left(2016\right)
nln⁡(2)≥ln⁡(2016)n\ln \left(2\right)\ge \ln \left(2016\right) . Or : ln⁡(2)>0\ln \left(2\right)>0. D'où :
n≥ln⁡(2016)ln⁡(2)n\ge \frac{\ln \left(2016\right)}{\ln \left(2\right)}
On cherche la valeur de ln⁡(2016)ln⁡(2)\frac{\ln \left(2016\right)}{\ln \left(2\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥11n\ge 11
(à la calculatrice on obtient ln⁡(2016)ln⁡(2)≈10,977\frac{\ln \left(2016\right)}{\ln \left(2\right)} \approx 10,977 et on arrondi à l'entier supérieur)
Question 2

5n≥2195^{n} \ge 219

Correction
  • ln⁡(an)=n×ln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\times \ln \left(a\right).
5n≥2195^{n} \ge 219 équivaut successivement à :
ln⁡(5n)≥ln⁡(219)\ln \left(5^{n} \right)\ge \ln \left(219\right)
nln⁡(5)≥ln⁡(219)n\ln \left(5\right)\ge \ln \left(219\right) . Or ln⁡(5)>0\ln \left(5\right)>0. D'où :
n≥ln⁡(219)ln⁡(5)n\ge \frac{\ln \left(219\right)}{\ln \left(5\right)}
On cherche la valeur de ln⁡(219)ln⁡(5)\frac{\ln \left(219\right)}{\ln \left(5\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥4n\ge 4
(à la calculatrice on obtient ln⁡(219)ln⁡(5)≈3,348\frac{\ln \left(219\right)}{\ln \left(5\right)} \approx 3,348 et on arrondi à l'entier supérieur)
Question 3

(0,4)n≤10−6\left(0,4\right)^{n} \le 10^{-6}

Correction
  • ln⁡(an)=n×ln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\times \ln \left(a\right).
(0,4)n≤10−6\left(0,4\right)^{n} \le 10^{-6} équivaut successivement à :
ln⁡((0,4)n)≤ln⁡(10−6)\ln \left(\left(0,4\right)^{n} \right)\le \ln \left(10^{-6} \right)
nln⁡(0,4)≤ln⁡(10−6)n\ln \left(0,4\right)\le \ln \left(10^{-6} \right) Or : ln⁡(0,4)<0\ln \left(0,4\right)<0
D'où : n≥ln⁡(10−6)ln⁡(0,4)n\ge \frac{\ln \left(10^{-6} \right)}{\ln \left(0,4\right)} (on a changé le sens de l'inéquation car ln⁡(0,4)<0\ln \left(0,4\right)<0)
On cherche la valeur de ln⁡(10−6)ln⁡(0,4)\frac{\ln \left(10^{-6} \right)}{\ln \left(0,4\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥16n\ge 16
(à la calculatrice on obtient ln⁡(10−6)ln⁡(0,4)≈15,077\frac{\ln \left(10^{-6} \right)}{\ln \left(0,4\right)} \approx 15,077 et on arrondi à l'entier supérieur)
Question 4

3×(2)n≥120003\times \left(2\right)^{n} \ge 12000

Correction
  • ln⁡(an)=n×ln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\times \ln \left(a\right).
3×(2)n≥120003\times \left(2\right)^{n} \ge 12000 équivaut successivement à :
(2)n≥120003\left(2\right)^{n} \ge \frac{12000}{3}
(2)n≥4000\left(2\right)^{n} \ge 4000
ln⁡((2)n)≥ln⁡(4000)\ln \left(\left(2\right)^{n} \right)\ge \ln \left(4000\right)
nln⁡(2)≥ln⁡(4000)n\ln \left(2\right)\ge \ln \left(4000\right). Or ln⁡(2)>0\ln \left(2\right)>0
D'où : n≥ln⁡(4000)ln⁡(2)n\ge \frac{\ln \left(4000\right)}{\ln \left(2\right)} .
On cherche la valeur de ln⁡(4000)ln⁡(2)\frac{\ln \left(4000\right)}{\ln \left(2\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥12n\ge 12
(à la calculatrice on obtient ln⁡(4000)ln⁡(2)≈11,965\frac{\ln \left(4000\right)}{\ln \left(2\right)} \approx 11,965 et on arrondi à l'entier supérieur)
Question 5

25×1,12n+50>10025\times 1,12^{n} +50>100

Correction
  • ln⁡(an)=n×ln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\times \ln \left(a\right).
25×1,12n+50>10025\times 1,12^{n} +50>100 équivaut successivement à :
25×1,12n>100−5025\times 1,12^{n} >100-50
25×1,12n>5025\times 1,12^{n} >50
1,12n>50251,12^{n} >\frac{50}{25}
1,12n>21,12^{n} >2
ln⁡(1,12n)>ln⁡(2)\ln \left(1,12^{n} \right)>\ln \left(2\right)
n×ln⁡(1,12)>ln⁡(2)n\times \ln \left(1,12\right)>\ln \left(2\right) . Or ln⁡(1,12)>0\ln \left(1,12\right)>0
n>ln⁡(2)ln⁡(1,12)n>\frac{\ln \left(2\right)}{\ln \left(1,12\right)}
Or : ln⁡(2)ln⁡(1,12)≈6,11\frac{\ln \left(2\right)}{\ln \left(1,12\right)} \approx 6,11 . Il faut prendre le premier entier supérieur à 6,116,11
Il en résulte que :
n≥7n \ge 7

Question 6

800−100×0,7n≥780800-100\times 0,7^{n} \ge 780

Correction
  • ln⁡(an)=n×ln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\times \ln \left(a\right).
800−100×0,7n≥780800-100\times 0,7^{n} \ge 780 équivaut successivement à:
−100×0,7n≥780−800-100\times 0,7^{n} \ge 780-800
−100×0,7n≥−20-100\times 0,7^{n} \ge -20
0,7n≤−20−1000,7^{n} \le \frac{-20}{-100}
0,7n≤0,20,7^{n} \le 0,2
ln⁡(0,7n)≤ln⁡(0,2)\ln \left(0,7^{n} \right)\le \ln \left(0,2\right)
n×ln⁡(0,7)≤ln⁡(0,2)n\times \ln \left(0,7\right)\le \ln \left(0,2\right) on divise par ln⁡(0,7)<0\ln \left(0,7 \right)<0, on change donc le sens de l'inégalité.
n≥ln⁡(0,2)ln⁡(0,7)n\ge \frac{\ln \left(0,2\right)}{\ln \left(0,7\right)}
Or : ln⁡(0,2)ln⁡(0,7)≈4,51\frac{\ln \left(0,2\right)}{\ln \left(0,7\right)} \approx 4,51 Il faut prendre le premier entier supérieur à 4,514,51
Il en résulte que :
n≥5n \ge 5

Question 7

6×0,95n−1≤26\times 0,95^{n} -1\le 2

Correction
6×0,95n−1≤26\times 0,95^{n} -1\le 2 équivaut successivement à :
6×0,95n≤2+16\times 0,95^{n} \le 2+1
6×0,95n≤36\times 0,95^{n} \le 3
0,95n≤360,95^{n} \le \frac{3}{6}
0,95n≤120,95^{n} \le \frac{1}{2}
ln⁡(0,95n)≤ln⁡(12)\ln \left(0,95^{n} \right)\le \ln \left(\frac{1}{2} \right)
n×ln⁡(0,95)≤ln⁡(12)n\times \ln \left(0,95\right)\le \ln \left(\frac{1}{2} \right)
n≥ln⁡(12)ln⁡(0,95)n\ge \frac{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}{\ln \left(0,95\right)} on divise par ln⁡(0,95)<0\ln \left(0,95 \right)<0, on change donc le sens de l'inégalité.
Or : ln⁡(12)ln⁡(0,95)≈13,51\frac{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}{\ln \left(0,95\right)}\approx13,51. Il faut prendre le premier entier supérieur à 13,5113,51
Il en résulte que :
n≥14n \ge 14