Les suites numériques

Exercices types : Sans la notion de suite arithmético-géométrique - Exercice 1

30 min
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Question 1
Un globe-trotteur a décidé de parcourir 50005000 km à pied. Il peut, le premier jour, parcourir 5050 km en une journée, mais la fatigue s'accumule et sa performance diminue de 11% chaque jour. On note dnd_{n} la distance parcourue en km durant le nième jour.

Calculer les distances d1d_{1} et d2d_{2}.

Correction
  • Augmenter un nombre xx de t%t\% revient à le multiplier par k=1+t100k=1+\frac{t}{100}.
  • Diminuer un nombre xx de t%t\% revient à le multiplier par k=1t100k=1-\frac{t}{100}.
Nous avons d1=50d_{1}=50 car le 11er jour le globe-trotteur parcourt 5050 km.
On sait que diminuer une quantité de 11% revient à multiplier cette quantité par 111001-\frac{1}{100} c'est à dire 0,990,99.
Ainsi :
d2=0,99×d1d_{2} =0,99\times d_{1}
d2=0,99×50d_{2} =0,99\times 50
d2=49,5d_{2} =49,5
Question 2

Quelle est la nature de la suite (dn)\left(d_{n} \right)? Préciser le premier terme et la raison.

Correction
Sachant que diminuer une quantité de 11% revient à multiplier cette quantité par 111001-\frac{1}{100} c'est à dire 0,990,99. Nous avons donc une situation modélisée par une suite géométrique de raison q=0,99q=0,99 et de premier terme u1=50u_{1}=50.
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 11, l'expression de dn+1d_{n+1} en fonction de dnd_{n} s'écrit alors :
dn+1=0,99×dnd_{n+1} =0,99\times d_{n}
Question 3

En déduire que pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 11 , on a : dn=50×0,99n1d_{n} =50\times 0,99^{n-1}

Correction
L'expression de dnd_{n} en fonction de nn s'écrit alors :
dn=d1×qn1d_{n} =d_{1} \times q^{n-1}
Nous obtenons donc :
dn=50×0,99n1d_{n} =50\times 0,99^{n-1}
Question 4
Le nombre total de kilomètres parcourus au bout de nn jours est : Sn=d1+d2+d3++dnS_{n} =d_{1} +d_{2} +d_{3} +\ldots +d_{n}

Montrer que : Sn=5000×(10,99n)S_{n} =5000\times \left(1-0,99^{n} \right)

Correction
La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
u0+u1++un=(premier terme)×(1qnombres de termes1q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
On a : Sn=d1+d2+d3++dnS_{n} =d_{1} +d_{2} +d_{3} +\ldots +d_{n} . En comptant de d1d_{1} à dnd_{n} nous avons nn termes.
Sn=50+50×0,99+50×0,992++50×0,99n1S_{n} =50+50\times 0,99+50\times 0,99^{2} +\ldots +50\times 0,99^{n-1}
On factorise par 5050, il vient :
Sn=50×(1+0,99+0,992++0,99n1)S_{n} =50\times \left(1+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1} \right)
Or : 1+0,99+0,992++0,99n1=0,990+0,991+0,992++0,99n11+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1}=0,99^{0}+0,99^{1}+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1} . Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison q=0,99q=0,99 et de premier terme 0,990=10,99^{0}=1
1+0,99+0,992++0,99n1=1×10,99n10,991+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1} =1\times\frac{1-0,99^{n} }{1-0,99}
1+0,99+0,992++0,99n1=10,99n0,011+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1} =\frac{1-0,99^{n} }{0,01} on rappelle que diviser par 0,010,01 revient à multiplier par 100100.
1+0,99+0,992++0,99n1=100×(10,99n)1+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1} =100\times \left(1-0,99^{n} \right)
Donc : Sn=50×(100×(10,99n))S_{n} =50\times \left(100\times \left(1-0,99^{n} \right)\right)
D'où :
Sn=5000×(10,99n)S_{n} =5000\times \left(1-0,99^{n} \right)
Question 5

Déterminer la limite de SnS_{n} lorsque nn tend vers ++\infty.

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.

Comme 0<0,99<10<0,99<1 alors :
limn+(0,99)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,99\right)^{n} =0
limn+10,99n=1\lim\limits_{n\to +\infty } 1-0,99^{n} =1
limn+5000×(10,99n)=5000\lim\limits_{n\to +\infty } 5000\times \left(1-0,99^{n} \right)=5000
Ainsi :
limn+Sn=5000\lim\limits_{n\to +\infty } S_{n} =5000
Question 6

Le globe-trotteur peut il atteindre son objectif?

Correction
La suite étant une suite strictement croissante ayant pour limite 50005000, le sportif ne pourra pas atteindre la
distance parcourue de 50005000 km. C’est une valeur limite qui ne peut pas être atteinte.
Question 7
On considère l'algorithme ci-dessous :
ENTREE
Saisir A>0A>0
INITIALISATION
N prend la valeur 11
S prend la valeur 5050
TRAITEMENT
Tant que S<AS<A
    SS prend la valeur S+50×0,99nS+50\times 0,99^{n}
    NN prend la valeur N+1N+1
Fin tant que
SORTIE
Afficher NN

Quel est le rôle de cet algorithme?

Correction
Cet algorithme permet d’afficher le nombre de jour minimal, nécessaire au sportif pour parcourir la distance AA.