Exercices types DS et Bac : $$1$$^ère partie - Exercice 1

Si $$20$$% des vélos sont devenus inutilisables en une année, cela signifie qu'il y a une diminution de $$20$$% des vélos en une année. Apparaît donc le coefficient multiplicateur : .
Chaque année on multiplie le nombre de vélos de l’année précédente par $$0,8$$ et on ajoute les $$30$$ vélos rachetés.

Comme $$u_{n+1} =0,8\times u_{n} +30$$ alors $$u_{0+1} =0,8\times u_{0} +30$$.
Ainsi :
$$u_{1} =0,8\times 200 +30$$
D'où:
Le $$1$$^er janvier $$2018$$, il y aura $$190$$ vélos disponibles.

$$v_{n} =u_{n} -150$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} -150$$
On connaît l'expression de $$u_{n+1}$$, on la remplace et on obtient :
$$v_{n+1} =0,8\times u_{n} +30-150$$
$$v_{n+1} =0,8u_{n} -120$$
$$v_{n+1} ={\color{blue}0,8}u_{n} -120$$ . Nous allons factoriser l'expression par $${\color{blue}0,8}$$ .
$$v_{n+1} =0,8\left(u_{n} -\frac{120}{0,8} \right)$$
$$v_{n+1} =0,8\left({\color{red} u_{n} -150}\right)$$ . Or : $${\color{red}v_{n} = u_{n} -150}$$
Ainsi :

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,8$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} -150=200-150$$ donc $$v_{0} =50$$

Ainsi :

On sait que : $$v_{n} =u_{n} -150$$ donc : $$v_{n} +150=u_{n}$$
Comme $$v_{n} =50\times 0,8^{n}$$ . Il en résulte donc que : .

Dans un $$1$$^er temps, tant que vous n'avez pas vu la fonction logarithme, il faudra utiliser le tableur de la calculatrice pour répondre à cette question.
Nous allons , ici, corrigé l'exercice en vu de la préparation du Bac qui arrive en Juin, donc avec la fonction logarithme.
Nous devons donc résoudre l'inéquation : $$u_{n} \le 160$$
$$u_{n} \le 160$$ équivaut successivement à :
$$50\times 0,8^{n} +150\le 160$$
$$50\times 0,8^{n}\le 160-150$$
$$50\times 0,8^{n}\le 10$$
$$0,8^{n}\le \frac{10}{50}$$
$$0,8^{n}\le 0,2$$
$$\ln \left(\left(0,8\right)^{n} \right)\le \ln \left(0,2\right)$$
$$n\ln \left(0,8\right)\le \ln \left(0,2\right)$$. Or $$\ln \left(0,8\right)<0$$
D'où : $$n\ge \frac{\ln \left(0,2\right)}{\ln \left(0,8\right)}$$.
On cherche la valeur de $$\frac{\ln \left(0,2\right)}{\ln \left(0,8\right)}$$à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
(à la calculatrice on obtient $$\frac{\ln \left(0,2\right)}{\ln \left(0,8\right)} \approx 7,21$$ et on arrondi à l'entier supérieur).
Le nombre de vélos sera inférieur à $$160$$ en $$2017+8=2025$$. La location s’arrêtera donc en $$2025$$.

La somme des subventions pour les deux premières années est égale à : $$20\times \left(u_{0} +u_{1} \right)$$.
Ainsi :
$$20\times \left(u_{0} +u_{1} \right)=20\times \left(200+190 \right)$$

Ici, il nous faudra calculer : $$20\times \left(u_{0} +u_{1}+u_{2}+....+u_{8} \right)$$.
Nous savons que $$u_{n} =50\times 0,8^{n} +150$$. Nous pouvons calculer tous les autres termes.
Il en résulte donc que :

Le total des subventions de la région sera de $$31300$$ euros.