Les suites numériques

Exercice 7 - Exercice 1

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Une école de danse a ouvert ses portes en 20162016. Cette année là, elle comptait 800800 inscrits. Chaque année, elle prévoit une augmentation de 15%15\% des inscriptions ainsi que 9090 désinscriptions. Pour tout entier naturel nn, on note unu_{n} le nombre d’inscrits l’année 2016+n2016+n. Chaque inscrit paye une cotisation annuelle de 150150 euros, sur laquelle l’école conserve un bénéfice de 2020 euros après avoir payé tous ses frais fixes. L’école économise ce bénéfice afin de construire une nouvelle salle de danse. Pour cela, elle a besoin d’un budget de 125125 000000 euros.
Question 1
Partie A .
Les données sont saisies dans une feuille de calcul donnée ci-dessous. Le format de cellule a été choisi pour que les nombres de la colonne CC soient arrondis à l’unité.

Quelle formule peut-on saisir en C3C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le nombre d’inscrits l’année de rang nn?

Correction
La formule que l’on saisit en C3C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le nombre d’inscrits l’année de rang nn est
=C2∗1,15−90=C2*1,15-90
Question 2

Quelle formule peut-on saisir en E3E3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le bénéfice cumulé à l’année de rang nn ?

Correction
La formule que l’on saisit en E3E3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le bénéfice cumulé à l’année de rang nn est
=E2+D3=E2+D3
Question 3

Compléter sur le tableau initial, les six cellules des lignes qui correspondent aux années 20212021 et 20222022.

Correction
Question 4

En quelle année l’école pourra-t-elle construire sa nouvelle salle de danse?

Correction
L’école dépassera 125125 000000 euros comme bénéfices cumulés en 20222022, c’est donc en 20222022 qu’elle pourra construire sa nouvelle salle de danse.
Question 5
Partie B .

Justifier que, pour tout entier naturel nn, un+1=1,15un−90u_{n+1}=1,15u_{n}-90 et préciser le premier terme u0u_{0} .

Correction
Soit unu_{n} le nombre d’inscrits l’année 2016+n2016+n et un+1u_{n+1} le nombre d’inscrits l’année suivante.
  • On passe du nombre d’inscrits l’année nn au nombre d’inscrits l’année n+1n+1 en ajoutant 15%15\%, donc on multiplie par le coefficient multiplicateur 1+15100=1,151+\frac{15}{100}=1,15 .
  • On constate ensuite 9090 désinscriptions c'est à dire on retranche 9090.
    • Il en résulte donc que
    un+1=1,15un−90u_{n+1}=1,15u_{n}-90
    .
    Le nombre d’inscrits en 20162016 est 800800 donc u0=800u_{0}=800 .
    Question 6
    On considère la suite (vn)\left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel nn, par vn=un−600v_{n}=u_{n}-600 .

    Montrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme v0v_{0}.

    Correction
    vn=un−600v_{n} =u_{n} -600
    On va écrire maintenant l'expression au rang n+1n+1 , il vient alors que :
    vn+1=un+1−600v_{n+1} =u_{n+1} -600
    On connait l'expression de un+1u_{n+1} , on la remplace et on obtient :
    vn+1=1,15un−90−600v_{n+1} =1,15u_{n} -90-600
    vn+1=1,15un−690v_{n+1} =1,15u_{n} -690
    Or : vn=un−600v_{n} =u_{n} -600 donc : vn+600=unv_{n} +600=u_{n}
    vn+1=1,15(vn+600)−690v_{n+1} =1,15\left(v_{n} +600\right)-690
    vn+1=1,15vn+1,15×600−690v_{n+1} =1,15v_{n} +1,15\times 600-690
    vn+1=1,15vn+690−690v_{n+1} =1,15v_{n} +690-690
    vn+1=1,15vnv_{n+1} =1,15v_{n}

    Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=1,15q=1,15 et de premier terme v0=u0−600=800−600v_{0} =u_{0} -600=800-600 donc v0=200v_{0} =200
    Question 7

    Pour tout entier naturel nn, exprimer vnv_{n} en fonction de nn .

    Correction
    • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
      vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
    Ainsi : vn=200×1,15nv_{n} =200\times 1,15^{n}
    Question 8

    En déduire que pour tout entier naturel n, un=200×1,15n+600u_{n} =200\times 1,15^{n} +600 .

    Correction
    On sait que : vn=un−600v_{n} =u_{n} -600 donc : vn+600=unv_{n} +600=u_{n}
    Il vient alors que :
    un=200×1,15n+600u_{n} =200\times 1,15^{n} +600
    Question 9

    À partir de quelle année, cette école accueillera-t-elle plus de 20002000 adhérents?

    Correction
    Cette école accueillera plus de 20002000 adhérents pour la première valeur de nn telle que un>2000u_{n} >2000 . Il en résulte donc :
    un>2000u_{n} >2000 équivaut successivement à :
    200×1,15n+600>2000200\times 1,15^{n} +600>2000
    200×1,15n>2000−600200\times 1,15^{n} >2000-600
    200×1,15n>1400200\times 1,15^{n} >1400
    1,15n>14002001,15^{n} >\frac{1400}{200}
    1,15n>71,15^{n} >7
    ln⁡(1,15n)>ln⁡(7)\ln \left(1,15^{n} \right)>\ln \left(7\right)
    nln⁡(1,15)>ln⁡(7)n\ln \left(1,15\right)>\ln \left(7\right)
    n>ln⁡(7)ln⁡(1,15)n>\frac{\ln \left(7\right)}{\ln \left(1,15\right)}
    Or : ln⁡(7)ln⁡(1,15)≈13,9\frac{\ln \left(7\right)}{\ln \left(1,15\right)} \approx 13,9
    Il en résulte donc que c’est à partir de n=14n=14 donc de 2016+14=20302016+14=2030 que le nombre d’élèves de cette école dépassera les 20002000.