Les suites numériques

Exercice 7

Exercice 1

Une école de danse a ouvert ses portes en 20162016. Cette année là, elle comptait 800800 inscrits. Chaque année, elle prévoit une augmentation de 15%15\% des inscriptions ainsi que 9090 désinscriptions. Pour tout entier naturel nn, on note unu_{n} le nombre d’inscrits l’année 2016+n2016+n. Chaque inscrit paye une cotisation annuelle de 150150 euros, sur laquelle l’école conserve un bénéfice de 2020 euros après avoir payé tous ses frais fixes. L’école économise ce bénéfice afin de construire une nouvelle salle de danse. Pour cela, elle a besoin d’un budget de 125125 000000 euros.
Partie A .
Les données sont saisies dans une feuille de calcul donnée ci-dessous. Le format de cellule a été choisi pour que les nombres de la colonne CC soient arrondis à l’unité.
1

Quelle formule peut-on saisir en C3C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le nombre d’inscrits l’année de rang nn?

Correction
2

Quelle formule peut-on saisir en E3E3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le bénéfice cumulé à l’année de rang nn ?

Correction
3

Compléter sur le tableau initial, les six cellules des lignes qui correspondent aux années 20212021 et 20222022.

Correction
4

En quelle année l’école pourra-t-elle construire sa nouvelle salle de danse?

Correction
Partie B .
5

Justifier que, pour tout entier naturel nn, un+1=1,15un90u_{n+1}=1,15u_{n}-90 et préciser le premier terme u0u_{0} .

Correction
On considère la suite (vn)\left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel nn, par vn=un600v_{n}=u_{n}-600 .
6

Montrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme v0v_{0}.

Correction
7

Pour tout entier naturel nn, exprimer vnv_{n} en fonction de nn .

Correction
8

En déduire que pour tout entier naturel n, un=200×1,15n+600u_{n} =200\times 1,15^{n} +600 .

Correction
9

À partir de quelle année, cette école accueillera-t-elle plus de 20002000 adhérents?

Correction
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