Les suites numériques

Exercice 5 - Exercice 1

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Dans une ville, un nouveau lycée vient d'ouvrir ses portes et accueille pour sa première rentrée 500500 élèves.
D'une année sur l'autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30%30\% de l'effectif et l'arrivée de 300300 nouveaux élèves.
On modélise cette situation par une suite numérique (un)(u_{n} )unu_{n} représente le nombre d'élèves inscrits au lycée pour l'année 2013+n2013+n, avec nn entier naturel.
On a donc u0=500u_{0} =500.
Question 1

Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 20142014.

Correction
En 20142014, il part 30%30\% d'élèves donc il en reste 70%70\% : 500×0,70=350500\times0,70 = 350.
On sait que chaque année, 300300 nouveaux élèves arrivent.
En 20142014, il y en aura donc 350+300=650350 + 300 = 650.
Question 2

Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 20152015.

Correction
En 20152015, le lycée garde 650×0,70=455650 \times 0,70 = 455 élèves, auxquels il faut ajouter les 300300 nouveaux.
En 20152015 , il y aura donc 455+300=755455+300 = 755 élèves.
Question 3

Justifier que, pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,7un+300u_{n+1} =0,7u_{n} +300

Correction
Pour déterminer le nombre d'élèves un+1u_{n+1} du lycée l'année 2013+(n+1)2013+(n+1), on garde 70%70\% du nombre d'élèves de l'année 2013+n2013+n, soit 0,7un0,7u_{n} , et on ajoute 300300.
Donc, pour tout entier naturel nn, un+1=0,7un+300u_{n+1} =0,7u_{n} +300.
Question 4

On souhaite, pour un entier nn donné, afficher tous les termes de la suite (un)(u_{n} ) du rang 00 au rang nn
Lequel des trois algorithmes suivants permet d'obtenir le résultat souhaité ?
Justifier.
Algorithme 1 :
Variables
nn, ii entiers naturels
uu nombre réel
Début algorithme
Lire nn
uu prend la valeur 500500
Pour ii allant de 11 à nn
Afficher uu
uu prend la valeur 0,7×u+3000,7\times u+300
Fin Pour
Fin algorithme

Algorithme 2 :
Variables
nn, ii entiers naturels
uu nombre réel
Début algorithme
Lire nn
uu prend la valeur 500500
Pour ii allant de 11 à nn
Afficher uu
uu prend la valeur 0,7×u+3000,7\times u+300
Fin Pour
Afficher uu
Fin algorithme

Algorithme 3 :
Variables
nn, ii entiers naturels
uu nombre réel
Début algorithme
Lire nn
uu prend la valeur 500500
Pour ii allant de 11 à nn
uu prend la valeur 0,7×u+3000,7\times u+300
Fin Pour
Afficher uu
Fin algorithme

Correction
On souhaite, pour un entier nn donné, afficher tous les termes de la suite (un)\left(u_{n} \right) du rang 0 au rang nn; il faut donc choisir un algorithme qui effectuera n+1n+1 affichages de la variable uu donnant la valeur de unu_{n} .
  • L'algorithme 11 effectue nn affichages.
  • L'algorithme 33 effectue un seul affichage en sortie de boucle.
  • L'algorithme permettant d'obtenir le résultat souhaité est donc l'algorithme 22
Question 5
On considère la suite (vn)\left(v_{n} \right) définie pour tout entier naturel nn par : vn=un1000v_{n} =u_{n} -1000.

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est une suite géométrique de raison q=0,7q=0,7.

Correction
On a :
vn=un1000v_{n} =u_{n} -1000
vn+1=un+11000v_{n+1} =u_{n+1} -1000
vn+1=0,7un+3001000v_{n+1} =0,7u_{n} +300-1000
vn+1=0,7un700v_{n+1} =0,7u_{n} -700. Or vn=un1000v_{n} =u_{n} -1000 donc vn+1000=unv_{n} +1000=u_{n}
Il vient alors que :
vn+1=0,7(vn+1000)700v_{n+1} =0,7\left(v_{n} +1000\right)-700
vn+1=0,7vn+700700v_{n+1} =0,7v_{n} +700-700
vn+1=0,7vnv_{n+1} =0,7v_{n}

Donc la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,7q=0,7 et de premier terme v0=u01000=5001000=500.v_{0} =u_{0} -1000=500-1000=-500.
Question 6

En déduire que, pour tout entier naturel nn, un=1000500×0,7nu_{n} =1000-500\times 0,7^{n} .

Correction
L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi : vn=500×0,7nv_{n} =-500\times 0,7^{n}
On sait que : vn=un1000v_{n} =u_{n} -1000 donc vn+1000=unv_{n} +1000=u_{n} .
Il vient alors que :
un=1000500×0,7nu_{n} =1000-500\times 0,7^{n}
Question 7

Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<0,7<10< 0,7< 1 alors :
limn+(0,7)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,7\right)^{n} =0
limn+500×(0,7)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } -500\times \left(0,7\right)^{n} =0
limn+1000500×0,7n=1000\lim\limits_{n\to +\infty } 1000-500\times 0,7^{n} =1000
Ainsi :
limn+un=1000\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1000
Question 8

Interpréter le résultat précédent.

Correction
On peut dire que le nombre d'élèves du lycée va tendre vers 10001000.
Question 9

Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation un990u_{n} \ge 990.

Correction
un990u_{n} \ge 990 équivaut successivement à :
1000500×0,7n9901000-500\times 0,7^{n} \ge 990
500×0,7n9901000-500\times 0,7^{n} \ge 990-1000
500×0,7n10-500\times 0,7^{n} \ge -10
0,7n105000,7^{n} \le \frac{-10}{-500}
0,7n1500,7^{n} \le \frac{1}{50}
ln(0,7n)ln(150)\ln \left(0,7^{n} \right)\le \ln \left(\frac{1}{50} \right)
nln(0,7)ln(150)n\ln \left(0,7\right)\le \ln \left(\frac{1}{50} \right)
nln(150)ln(0,7)n\ge \frac{\ln \left(\frac{1}{50} \right)}{\ln \left(0,7\right)} car ln(0,7)<0\ln (0,7)<0
Or,
ln(150)ln(0,7)10,97\frac{\ln \left(\frac{1}{50} \right)}{\ln (0,7)} \approx 10,97

Donc : un990n11u_{n} \ge 990\Leftrightarrow n\ge 11.
Question 10

Interpréter le résultat trouvé précédemment.

Correction
D'après la question précédente, un990u_{n} \ge 990 si n11n\ge 11
Donc à partir de l'année 2013+11=20242013+11 = 2024, il y aura plus de 990990 élèves dans le lycée.