Les suites numériques

Exercice 4

Exercice 1

Au 11er janvier 20052005, une ville en pleine expansion avait une population de 100000100000 habitants.
Un bureau d'étude fait l'hypothèse qu'à partir du 11er janvier 20052005 :
  • Le nombre d'habitants de la ville augmente chaque année de 5%5\% du fait de naissances et des décès.
  • Du fait des mouvements migratoires, 40004000 personnes supplémentaires viennent s'installer chaque année dans cette ville.
Partie A : étude théorique
Pour tout nombre entier naturel nn, on note unu_{n} le nombre d'habitants de cette ville au 11er janvier de l'année 2005+n2005+n.
Ainsi u0=100000u_{0} =100000
1

Calculer u1u_{1} et u2u_{2} .

Correction
2

Justifier que, pour tout entier naturel nn, un+1=1,05un+4000u_{n+1} =1,05u_{n} +4000.

Correction
Pour tout entier naturel nn, vn=un+80000v_{n} =u_{n} +80000.
3

Calculer v0v_{0} .

Correction
4

Montrer que (vn)nN(v_{n} )_{n\in N} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

Correction
5

Exprimer (vn)(v_{n} ) en fonction de nn.

Correction
6

En déduire que un=180000×(1,05)n80000u_{n} =180000\times \left(1,05\right)^{n} -80000.

Correction
7

Calculer la limite de la suite (un)nN(u_{n} )_{n \in N} .

Correction
Partie B
Le but de cette partie est de prévoir l'évolution de la population jusqu'en 20202020, en utilisant le modèle théorique étudié à la partie AA.
8

Quel sera le nombre d'habitants de la ville au 11er janvier 20202020 ?

Correction
9

A partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200000200000 habitants ?

Correction
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