Les suites numériques

Exercice 2 - Exercice 1

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Question 1
Partie A
On considère la suite(un)(u_{n} ) définie par u0=10u_{0} =10 et pour tout entier naturel nn, un+1=0,9un+1,2u_{n+1} =0,9u_{n} +1,2

On considère la suite (vn)(v_{n} ) définie pour tout entier naturel nn par vn=un12v_{n} =u_{n} -12.
Démontrer que la suite (vn)(v_{n} ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Correction
vn=un12v_{n} =u_{n} -12
On va écrire maintenant l'expression au rang n+1n+1 , il vient alors que :
vn+1=un+112v_{n+1} =u_{n+1} -12
On connait l'expression de un+1u_{n+1} , on la remplace et on obtient :
vn+1=0,9un+1,212v_{n+1} =0,9u_{n} +1,2-12
vn+1=0,9un10,8v_{n+1} =0,9u_{n} -10,8
Or vn=un12v_{n} =u_{n} -12 donc vn+12=unv_{n} +12=u_{n}
vn+1=0,9(vn+12)10,8v_{n+1} =0,9\left(v_{n} +12\right)-10,8
vn+1=0,9vn+0,9×1210,8v_{n+1} =0,9v_{n} +0,9\times 12-10,8
vn+1=0,9vn+10,810,8v_{n+1} =0,9v_{n} +10,8-10,8
vn+1=0,9vnv_{n+1} =0,9v_{n}

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,9q=0,9 et de premier terme v0=u012=1012v_{0} =u_{0} -12=10-12 donc v0=2v_{0} =-2
Question 2

Exprimez vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi :
vn=2×0,9nv_{n} =-2\times 0,9^{n}
Question 3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=122×0,9n.u_{n} =12-2\times 0,9^{n} .

Correction
On sait que : vn=un12v_{n} =u_{n} -12 donc vn+12=unv_{n} +12=u_{n}
Il vient alors que :
un=2×0,9n+12u_{n} =-2\times 0,9^{n} +12
Question 4

Déterminer la limite de la suite vnv_{n} et en déduire celle de la suite (un)(u_{n} ).

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 00,910\le 0,9\le 1 alors :
limn+(0,9)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,9\right)^{n} =0
limn+(2)×(0,9)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-2\right)\times \left(0,9\right)^{n} =0
Donc :
limn+vn=0\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =0

De plus : limn+(2)×(0,9)n+12=12\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-2\right)\times \left(0,9\right)^{n} +12=12
Ainsi :
limn+un=12\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =12
Question 5
Partie B
En 20122012, la ville de Bellecité compte 1010 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :
  • 10%10\% des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville.
  • 12001 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.

Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite (un)(u_{n} )unu_{n} désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année 2012+n2012+n.

Correction
La diminution de 10%10\% de la population de la ville peut se traduire par le coefficient multiplicateur 110100=0,91-\frac{10}{100} =0,9 soit 0,9un0,9u_{n} auquel il faut ajouter les 12001200 nouveaux habitants soit 1,21,2 milliers.
On obtient donc :
un+1=0,9un+1,2u_{n+1} =0,9u_{n} +1,2
Question 6

Un institut statistique décide d'utiliser un algorithme pour prévoir la population de Bellecité dans les années à venir.
Compléter l'algorithme suivant pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année 2012+n2012+n.
VARIABLES
a,i,n.a,i,n.
INITIALISATION
Choisir nn
aa prend la valeur 1010.
TRAITEMENT
Pour ii allant de 11 à nn,
aa prend la valeur ...
SORTIE
Afficher aa

Correction
VARIABLES
a,i,n.a,i,n.
INITIALISATION
Choisir nn
aa prend la valeur 1010.
TRAITEMENT
Pour ii allant de 11 à nn,
aa prend la valeur 0,9a+1,20,9a+1,2
SORTIE
Afficher aa
Question 7

Résoudre l'inéquation 122×0,9n>11,512-2\times 0,9^{n} >11,5.

Correction
122×0,9n>11,512-2\times 0,9^{n} >11,5 équivaut successivement à :
2×0,9n>11,512-2\times 0,9^{n} >11,5-12
2×0,9n>0,5-2\times 0,9^{n} >-0,5
0,9n<0,520,9^{n} <\frac{-0,5}{-2}
0,9n<140,9^{n} <\frac{1}{4}
ln(0,9n)<ln(14)\ln \left(0,9^{n} \right)<\ln \left(\frac{1}{4} \right)
n×ln(0,9)<ln(14)n\times \ln \left(0,9\right)<\ln \left(\frac{1}{4} \right)
n>ln(14)ln(0,9)n>\frac{\ln \left(\frac{1}{4} \right)}{\ln \left(0,9\right)} on a changé le sens de l'inéquation car ln(0,9)<0\ln \left(0,9\right)<0
n>13,15n>13,15
On arrondi à l'entier supérieur, donc :
n14n\ge 14
Question 8

En donner une interprétation.

Correction
La population de Bellecité sera supérieure à 11,511,5 milliers d'habitants à partir de l'année 2012+142012+14 soit 20262026.