Les suites numériques

Comment calculer lim⁡n→+∞a×qn+b\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n} +b - Exercice 1

15 min
20
Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
Question 1

un=(−4)×0,85n+12u_{n} =\left(-4\right)\times 0,85^{n} +12

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<0,85<10<0,85<1 alors :
lim⁡n→+∞(0,85)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,85\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−4)×(0,85)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−4)×(0,85)n+12=12\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} +12=12
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=12\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =12

Question 2

un=3×(23)n+1u_{n} =3\times \left(\frac{2}{3} \right)^{n} +1

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<23<10<\frac{2}{3}<1 alors :
lim⁡n→+∞(23)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{2}{3}\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞3×(23)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 3\times\left(\frac{2}{3}\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞3×(23)n+1=1\lim\limits_{n\to +\infty } 3\times\left(\frac{2}{3}\right)^{n} +1=1
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=1\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1

Question 3

un=2×(54)n−6u_{n} =2\times \left(\frac{5}{4} \right)^{n} -6

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 54>1\frac{5}{4} >1 alors :
lim⁡n→+∞(54)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{5}{4}\right)^{n} =+\infty
lim⁡n→+∞2×(54)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2\times\left(\frac{5}{4}\right)^{n} =+\infty
lim⁡n→+∞2×(54)n−6=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2\times\left(\frac{5}{4}\right)^{n} -6=+\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =+\infty

Question 4

un=−2×(32)n+4u_{n} =-2\times \left(\frac{3}{2} \right)^{n}+4

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 32>1\frac{3}{2} >1 alors :
lim⁡n→+∞(32)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{3}{2}\right)^{n} =+\infty
lim⁡n→+∞−3×(32)n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -3\times\left(\frac{3}{2}\right)^{n} =-\infty
lim⁡n→+∞−3×(32)n+4=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -3\times\left(\frac{3}{2}\right)^{n} +4=-\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =-\infty
Question 5

un=7×0,92n+60u_{n} =7\times 0,92^{n} +60

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<0,92<10<0,92<1 alors :
lim⁡n→+∞0,92n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 0,92^{n} =0
lim⁡n→+∞7×0,92n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 7\times 0,92^{n} =0
lim⁡n→+∞7×0,92n+60=60\lim\limits_{n\to +\infty } 7\times 0,92^{n} +60=60
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=60\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =60

Question 6

un=−5×0,8n−20u_{n} =-5\times 0,8^{n} -20

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<0,8<10<0,8<1 alors :
lim⁡n→+∞0,8n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 0,8^{n} =0
lim⁡n→+∞−5×0,8n=0\lim\limits_{n\to +\infty } -5\times 0,8^{n} =0
lim⁡n→+∞−5×0,8n−20=−20\lim\limits_{n\to +\infty } -5\times 0,8^{n}-20=-20
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=−20\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =-20