Les suites numériques

Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique - Exercice 1

15 min
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Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique.
Question 1

Soit une suite arithmétique (un)\left(u_{n} \right) de raison r=2r=2 et de u0=4u_{0} =4. Calculer : S=u0+u1+…+u10S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10} .

Correction
La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
u0+u1+…+un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique de raison r=2r=2 et de u0=4u_{0} =4. Nous allons donc exprimer (un)\left(u_{n} \right) en fonction de nn. Ainsi :
un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r ce qui donne ici un=4+2nu_{n} =4+2n.
Nous voulons calculer : S=u0+u1+…+u10S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10} . Il nous faut donc le dernier terme de la suite c'est à dire u10u_{10} . Ainsi : u10=4+2×10=24u_{10} =4+2\times 10=24
De plus, il y a en tout 1111 termes en partant de u0 u_{0} à u10 u_{10}.
On applique la formule :
u0+u1+…+u10=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
u0+u1+…+u10=11×(u0+u102)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=11\times \left(\frac{u_{0} +u_{10} }{2} \right)
u0+u1+…+u10=11×(4+242)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=11\times \left(\frac{4+24}{2} \right)
Ainsi :
u0+u1+…+u10=154u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=154
Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=nn-p+1=n. Nous avons donc n−p+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
    • Question 2

    Soit une suite arithmétique (un)\left(u_{n} \right) de raison r=1r=1 et de u0=7u_{0} =7. Calculer : S=u0+u1+…+u8S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8} .

    Correction
    La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1+…+un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique de raison r=1r=1 et de u0=7u_{0} =7. Nous allons donc exprimer (un)\left(u_{n} \right) en fonction de nn. Ainsi :
    un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r ce qui donne ici un=7+nu_{n} =7+n.
    Nous voulons calculer : S=u0+u1+…+u8S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8} . Il nous faut donc le dernier terme de la suite c'est à dire u8u_{8} . Ainsi : u8=7+8=15u_{8} =7+8=15
    De plus, il y a en tout 99 termes en partant de u0 u_{0} à u8 u_{8}.
    On applique la formule :
    u0+u1+…+u8=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    u0+u1+…+u8=9×(u0+u82)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8}=9\times \left(\frac{u_{0} +u_{8} }{2} \right)
    u0+u1+…+u8=9×(7+152)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8}=9\times \left(\frac{7+15}{2} \right)
    Ainsi :
    u0+u1+…+u8=99u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8}=99
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=nn-p+1=n. Nous avons donc n−p+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
    • Question 3

    Soit une suite arithmétique (un)\left(u_{n} \right) de raison r=−5r=-5 et de u1=120u_{1} =120. Calculer : S=u1+u2+…+u13S=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{13} .

    Correction
    La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1+…+un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique de raison r=−5r=-5 et de u1=120u_{1} =120. Nous allons donc exprimer (un)\left(u_{n} \right) en fonction de nn. Ainsi :
    un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r ce qui donne ici un=120+(n−1)×(−5)u_{n} =120 +\left(n-1\right)\times \left(-5\right).
    Nous voulons calculer : S=u1+u2+…+u13S=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{13} . Il nous faut donc le dernier terme de la suite c'est à dire u13u_{13} . Ainsi : u13=120+(13−1)×(−5)=60u_{13} =120 +\left(13-1\right)\times \left(-5\right)=60
    De plus, il y a en tout 1313 termes en partant de u1 u_{1} à u13 u_{13}.
    On applique la formule :
    u1+u2+…+u13=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{13}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    u1+u2+…+u13=13×(u1+u132)u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{13}=13\times \left(\frac{u_{1} +u_{13} }{2} \right)
    u1+u2+…+u13=13×(120+602)u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{13}=13\times \left(\frac{120+60}{2} \right)
    Ainsi :
    u1+u2+…+u13=1170u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{13}=1170
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. On fait : n−0+1n-0+1
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. On fait : n−1+1n-1+1
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. On fait : n−p+1n-p+1