Les lois continues

Loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right) - Exercice 1

15 min
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Une variable aléatoire XX suit la loi normale centrée réduite que l'on note N(0;1)\mathcal{N}\left(0;1\right)
A l'aide de la calculatrice, donner les valeurs des probabilités suivantes arrondies au millième.
Question 1

P(X2,1)P\left(X\le 2,1\right)

Correction
Pour le calcul de P(X2,1)P\left(X\le 2,1\right)

Avec une calculatrice Texas, pour P(X2,1)P\left(X\le 2,1\right) on tape NormalFrep(valeur min, valeur max)
C'est-à-dire ici NormalFrep(1099-10^{99}, 2.12.1) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(X2,1)0,982P\left(X\le 2,1\right)\approx 0,982

Il n'est pas nécessaire d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(X2,1)P\left(X\le 2,1\right) on tape :
Normal C.D
Lower : 1099-10^{99} Valeur Minimale
Upper : 2.12.1 Valeur Maximale
σ\sigma : 11 Ecart type
μ\mu : 00 Espérance

puis on tape sur EXE et on obtient :
P(X2,1)0,982P\left(X\le 2,1\right)\approx 0,982
Question 2

P(X>0,5)P\left(X>-0,5\right)

Correction
Pour le calcul de P(X>0,5)P\left(X>-0,5\right)

Avec une calculatrice Texas, pour P(X>0,5)P\left(X>-0,5\right) on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep(-0.5, 10^\hat{}99) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(X>0,5)0,691P\left(X>-0,5\right)\approx 0,691

Il n'est pas nécessaire d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(X>0,5)P\left(X>-0,5\right) on tape :
Normal C.D
Lower : 0.5-0.5 Valeur Minimale
Upper : 109910^{99} Valeur Maximale
σ\sigma : 11 Ecart type
μ\mu : 00 Espérance

puis on tape sur EXE et on obtient :
P(X>0,5)0,691P\left(X>-0,5\right)\approx 0,691
Question 3

P(X1,96)P\left(X\le 1,96\right)

Correction
Pour le calcul de P(X1,96)P\left(X\le 1,96\right)

Avec une calculatrice Texas, pour P(X1,96)P\left(X\le 1,96\right) on tape NormalFrep(valeur min, valeur max)
C'est-à-dire ici : NormalFrep(1099-10^{99}, 1.961.96) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(X1,96)0,975P\left(X\le 1,96\right)\approx 0,975

Il n'est pas nécessaire d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(X1,96)P\left(X\le 1,96\right) on tape :
Normal C.D
Lower : 1099-10^{99} Valeur Minimale
Upper : 1.961.96 Valeur Maximale
σ\sigma : 11 Ecart type
μ\mu : 00 Espérance

puis on tape sur EXE et on obtient :
P(X1,96)0,975P\left(X\le 1,96\right)\approx 0,975
Question 4

P(1,5X1,5)P\left(-1,5\le X\le 1,5\right)

Correction
Pour le calcul de P(1,5X1,5)P\left(-1,5\le X\le 1,5\right)

Avec une calculatrice Texas, pour P(1,5X1,5)P\left(-1,5\le X\le 1,5\right) on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep(1.5-1.5, 1.51.5) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(1,5X1,5)0,866P\left(-1,5\le X\le 1,5\right)\approx 0,866

Il n'est pas nécessaire d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(1,5X1,5)P\left(-1,5\le X\le 1,5\right) on tape :
Normal C.D
Lower : 1.5-1.5 Valeur Minimale
Upper : 1.51.5 Valeur Maximale
σ\sigma : 11 Ecart type
μ\mu : 00 Espérance

puis on tape sur EXE et on obtient :
P(1,5X1,5)0,866P\left(-1,5\le X\le 1,5\right)\approx 0,866
Question 5

P(X0)P\left(X\le 0\right)

Correction
Pour le calcul de P(X0)P\left(X\le 0\right)

Avec une calculatrice Texas, pour P(X0)P\left(X\le 0\right) on tape NormalFrep(valeur min, valeur max)
C'est-à-dire ici NormalFrep(1099-10^{99}, 00) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(X0)=12P\left(X\le 0\right)=\frac{1}{2}

Il n'est pas nécessaire d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(X0)P\left(X\le 0\right) on tape :
Normal C.D
Lower : 1099-10^{99} Valeur Minimale
Upper : 00 Valeur Maximale
σ\sigma : 11 Ecart type
μ\mu : 00 Espérance

puis on tape sur EXE et on obtient :
P(X0)=12P\left(X\le 0\right)=\frac{1}{2}
Question 6

P(1X0,5)P\left(-1\le X\le -0,5\right)

Correction
Pour le calcul de P(1X0,5)P\left(-1\le X\le -0,5\right)

Avec une calculatrice Texas, pour P(1X0,5)P\left(-1\le X\le -0,5\right) on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep(1-1, 0.5-0.5) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(1X0,5)0,15P\left(-1\le X\le 0,5\right)\approx 0,15

Il n'est pas nécessaire d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)

Avec une calculatrice Casio Graph 35+ , pour P(1X0,5)P\left(-1\le X\le -0,5\right) on tape :
Normal C.D
Lower : 1-1 Valeur Minimale
Upper : 0.5-0.5 Valeur Maximale
σ\sigma : 11 Ecart type
μ\mu : 00 Espérance

puis on tape sur EXE et on obtient :
P(1X0,5)0,15P\left(-1\le X\le -0,5\right)\approx 0,15