Les lois continues

Exercices types

Exercice 1

D’après le «bilan des examens du permis de conduire» pour l’année 20142014 publiée par le ministère de l’Intérieur en novembre 20152015, 2020 % des personnes qui se sont présentées à l’épreuve pratique du permis de conduire avaient suivi la filière de l’apprentissage anticipé de la conduite (AAC). Parmi ces candidats, 7575 % ont été reçus à l’examen. Pour les candidats n’ayant pas suivi la filière AAC, le taux de réussite à l’examen était seulement de 56,656,6 %. On choisit au hasard l’un des candidats à l’épreuve pratique du permis de conduire en 20142014.
On considère les évènements suivants :
  • AA «le candidat a suivi la filière AAC»
  • RR «le candidat a été reçu à l’examen»
  • 1

    Donner les probabilités P(A)P\left( A \right) ; PA(R)P_{A} \left(R\right) et PA( R)P_{\overline A} \left(\ R\right)

    Correction
    2

    Traduire la situation par un arbre pondéré.

    Correction
    3

    Calculer P(AR)P\left(A\cap R\right)

    Correction
    4

    Calculer P(R)P\left( R \right)

    Correction
    5

    Sachant que le candidat a été reçu à l’examen, calculer la probabilité qu’il ait suivi la filière AAC. On donnera une valeur approchée à 10410^{-4} près de cette probabilité.

    Correction
    Un responsable d’auto-école affirme que pour l’année 20162016, la probabilité d’être reçu à l’examen est égale à 0,620,62. Ayant des doutes sur cette affirmation, une association d’automobilistes décide d’interroger 400400 candidats à l’examen parmi ceux de 20162016. Il s’avère que 220220 d’entre eux ont effectivement obtenu le permis de conduire.
    6

    Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 9595 % de la fréquence de candidats reçus dans un échantillon aléatoire de 400400 candidats.

    Correction
    7

    Peut-on émettre des doutes sur l’affirmation du responsable de cette auto-école? Justifier votre réponse.

    Correction
    Selon une enquête menée en 20132013 par l’association «Prévention Routière», le coût moyen d’obtention du permis de conduire atteignait environ 15001500 euros.
    On décide de modéliser le coût d’obtention du permis de conduire par une variable aléatoire XX qui suit la loi normale d’espérance μ=1500\mu=1500 et d’écart-type σ=410\sigma=410.
    8

    Déterminer une valeur approchée à 10210^{-2} près de la probabilité que le coût du permis de conduire soit compris entre 10901090 euros et 19101910 euros.

    Correction
    9

    Déterminer P(X1155)P\left(X\le 1155\right). On donnera le résultat sous forme approchée à 10210^{-2} près.

    Correction
    10

    Estimer la valeur du nombre réel aa arrondi à l’unité, vérifiant P(Xa)=0,2P\left(X\ge a\right)=0,2. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.

    Correction

    Exercice 2

    Une machine permet le conditionnement d'une pommade dans des tubes. La quantité de pommade injecté dans un tube par la machine, exprimée en ml (millilitre), est modélisée avec une variable aléatoire réelle XX. On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne μ=250\mu=250 et d’écart-type σ=1,5\sigma = 1,5.
    1

    Déterminer P(X246)P\left( X\le 246\right).

    Correction
    2

    Déterminer la probabilité que le tube ait un contenu compris entre 249249 et 250250 millilitres.

    Correction
    3

    Comment choisir la valeur de α\alpha afin que P(250αX250+α)=0,95P\left(250-\alpha \le X\le 250+\alpha \right)=0,95 soit approximativement égale à 0,950,95 à 10210^{-2} près.

    Correction
    4

    Soit β\beta un réel. Déterminer β\beta tel que P(Xβ)=0,6P\left(X\le \beta\right)=0,6

    Correction
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