Les lois continues

Exercice type : Loi de densité - Exercice 1

25 min
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Exercice comme si vous étiez en Term S :)
Question 1
Soit ff une fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[ par f(x)=ln(x)f\left(x\right)=\ln \left(x\right).

Etudier le signe de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[.

Correction
ln(x)0eln(x)e0x1\ln \left(x\right)\ge0\Leftrightarrow e^{\ln \left(x\right)} \ge e^{0} \Leftrightarrow x\ge1
Traduisons ci-dessous le tableau de signe de la fonction xln(x)x\mapsto \ln \left(x\right).
Question 2
Soit FF la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[ par F(x)=xln(x)xF\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-x.

Vérifier que FF est une primitive de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[.

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
FF est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[.
Ici on reconnaît la forme (uvw)=uv+uvw\left(uv-w\right)'=u'v+uv'-w' avec u(x)=xu\left(x\right)=x ; v(x)=ln(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right) et w(x)=xw\left(x\right)=x
Ainsi u(x)=1u'\left(x\right)=1 ; v(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} et w(x)=1w'\left(x\right)=1 .
Il vient alors que
F(x)=1×ln(x)+x×1x1F'\left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x} -1
F(x)=ln(x)=f(x)F'\left(x\right)=\ln \left(x\right)=f\left(x\right)

Question 3
mis en spé

Déterminer le réel a>1a>1 tel que : 1aln(x)dx=1\int _{1}^{a}\ln \left(x\right)dx=1

Correction
1aln(x)dx=1\int _{1}^{a}\ln \left(x\right)dx=1 équivaut successivement à :
F(a)F(1)=1F\left(a\right)-F\left(1\right)=1
aln(a)a(1×ln(1)1)=1a\ln \left(a\right)-a-\left(1\times \ln \left(1\right)-1\right)=1
aln(a)a(1)=1a\ln \left(a\right)-a-\left(-1\right)=1
aln(a)a+1=1a\ln \left(a\right)-a+1=1
aln(a)a=0a\ln \left(a\right)-a=0
a(ln(a)1)=0a\left(\ln \left(a\right)-1\right)=0
Il s'agit d'une équation produit nul : a=0a=0 ou ln(a)1=0\ln \left(a\right)-1=0
On rejette la solution a=0a=0 car a>1a>1. Il ne nous reste plus qu'à résoudre ln(a)1=0\ln \left(a\right)-1=0
ln(a)1=0\ln \left(a\right)-1=0 équivaut successivement à :
ln(a)=1\ln \left(a\right)=1
ln(a)=ln(e)\ln \left(a\right)=\ln \left(e\right)
a=ea=e

Le réel a>1a>1 tel que : 1aln(x)dx=1\int _{1}^{a}\ln \left(x\right)dx=1 est le réel a=ea=e.
Question 4

Peut-on alors considérer la fonction xln(x)x\mapsto \ln \left(x\right) comme une densité de probabilité sur l’intervalle [1;a]\left[1;a\right].

Correction

On appelle densité de probabilité d’une variable aléatoire continue XX, toute fonction ff vérifiant les conditions suivantes :
  • ff est continue sur [1;a]\left[1;a\right]
  • ff est positive sur [1;a]\left[1;a\right]
  • 1af(x)dx=1\int _{1}^{a}f\left(x\right)dx =1
Nous savons, ici, que a=ea=e.
  • D'après la question 11, xln(x)x\mapsto \ln \left(x\right) est positive sur l'intervalle [1;a]\left[1;a\right].
  • De plus, xln(x)x\mapsto \ln \left(x\right) est continue, par définition sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[ et donc est continue en particulier sur [1;a]\left[1;a\right]
  • D'après la question 33, on a vu que 0aln(x)dx=1\int _{0}^{a}\ln \left(x\right)dx=1
Il en résulte donc que la fonction xln(x)x\mapsto \ln \left(x\right) est une densité de probabilité sur l’intervalle [1;a]\left[1;a\right] avec a=ea=e.
Question 5
Soit GG la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[ par G(x)=12x2ln(x)14x2G\left(x\right)=\frac{1}{2} x^{2} \ln \left(x\right)-\frac{1}{4} x^{2}.

Vérifier que GG est une primitive de xxln(x)x\mapsto x\ln \left(x\right) sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[.

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
GG est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[.
Ici on reconnaît la forme (uvw)=uv+uvw\left(uv-w\right)'=u'v+uv'-w' avec u(x)=12x2u\left(x\right)=\frac{1}{2} x^{2} ; v(x)=ln(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right) et w(x)=14x2w\left(x\right)=\frac{1}{4} x^{2}
Ainsi u(x)=xu'\left(x\right)=x ; v(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} et w(x)=12xw'\left(x\right)=\frac{1}{2} x.
Il vient alors que
G(x)=xln(x)+12x2×1x12xG'\left(x\right)=x\ln \left(x\right)+\frac{1}{2} x^{2} \times \frac{1}{x} -\frac{1}{2} x
G(x)=xln(x)+12x12xG'\left(x\right)=x\ln \left(x\right)+\frac{1}{2} x-\frac{1}{2} x
G(x)=xln(x)G'\left(x\right)=x\ln \left(x\right)

Question 6

Déterminer l'espérance de la fonction xln(x)x\mapsto \ln \left(x\right) comme densité de probabilité sur l’intervalle [1;e]\left[1;e\right].

Correction

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue XX, de densité ff sur [a,b]\left[a,b\right] est : E(X)=abxf(x)dxE\left(X\right)=\int _{a}^{b}xf\left(x\right)dx

Ainsi :
E(X)=1exf(x)dxE\left(X\right)=\int _{1}^{e}xf\left(x\right)dx équivaut successivement à
E(X)=1ex×ln(x)dxE\left(X\right)=\int _{1}^{e}x\times \ln\left(x\right)dx
D'après la question 55, on sait que x12x2ln(x)14x2x\mapsto\frac{1}{2} x^{2} \ln \left(x\right)-\frac{1}{4} x^{2} est une primitive de xxln(x)x\mapsto x\ln \left(x\right)
Finalement :
E(X)=1ex×ln(x)dxE\left(X\right)=\int _{1}^{e}x\times \ln\left(x\right)dx équivaut successivement à :
E(X)=G(e)G(1)=1E\left(X\right)=G\left(e\right)-G\left(1\right)=1
E(X)=(12e2ln(e)14e2)(12×12×ln(1)14×12)E\left(X\right)=\left(\frac{1}{2} e^{2} \ln \left(e\right)-\frac{1}{4} e^{2} \right)-\left(\frac{1}{2}\times1^{2}\times \ln \left(1\right)-\frac{1}{4} \times1^{2} \right)
E(X)=(12e214e2)(14)E\left(X\right)=\left(\frac{1}{2} e^{2}-\frac{1}{4} e^{2} \right)-\left(-\frac{1}{4}\right)
E(X)=14e2+14E\left(X\right)=\frac{1}{4} e^{2}+\frac{1}{4}