Les lois continues

Exercice type : Loi de densité

Exercice 1

Exercice comme si vous étiez en Term S :)
Soit ff une fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[ par f(x)=ln(x)f\left(x\right)=\ln \left(x\right).
1

Etudier le signe de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[.

Correction
Soit FF la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[ par F(x)=xln(x)xF\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-x.
2

Vérifier que FF est une primitive de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[.

Correction
3

Déterminer le réel a>1a>1 tel que : 1aln(x)dx=1\int _{1}^{a}\ln \left(x\right)dx=1

Correction
4

Peut-on alors considérer la fonction xln(x)x\mapsto \ln \left(x\right) comme une densité de probabilité sur l’intervalle [1;a]\left[1;a\right].

Correction
Soit GG la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[ par G(x)=12x2ln(x)14x2G\left(x\right)=\frac{1}{2} x^{2} \ln \left(x\right)-\frac{1}{4} x^{2}.
5

Vérifier que GG est une primitive de xxln(x)x\mapsto x\ln \left(x\right) sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[.

Correction
6

Déterminer l'espérance de la fonction xln(x)x\mapsto \ln \left(x\right) comme densité de probabilité sur l’intervalle [1;e]\left[1;e\right].

Correction
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