Le détaillant constate que ses melons se vendent bien lorsque leur masse est comprise entre 900 g et 1200 g. Dans la suite, de tels melons sont qualifiés «conformes». Le détaillant achète ses melons auprès de deux maraîchers, notés respectivement A,B .
Question 1
Pour les melons du maraîcher A, on modélise la masse en gramme par une variable aléatoire MA qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [850;x], où x est un nombre réel supérieur à 1200.
Le maraîcher B affirme, quant à lui, que 80% des melons de sa production sont conformes.
Le détaillant constate que 75% des melons du maraîcher A sont conformes. Déterminer x.
Correction
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [a;b] alors : P(c≤X≤d)=b−ad−c.
Pour les melons du maraîcher A, on modélise la masse en gramme par une variable aléatoire MA qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [850;x]. Puisque 75% des melons du maraîcher A sont conformes on a : P(900≤MA≤1200)=0,75 équivaut successivement à : x−8501200−900=0,75 1200−900=0,75×(x−850) 300=0,75×(x−850) 300=0,75x−0,75×850 300=0,75x−637,5 0,75x−637,5=300 0,75x=300+637,5 0,75x=937,5 x=0,75937,5
x=1250
Question 2
Le détaillant doute de l’affirmation du maraîcher B.Il constate que sur 400 melons livrés parce maraîcher au cours d’une semaine, seulement 294 sont conformes. Le détaillant a-t-il raison de douter de l’affirmation du maraîcher B?
Correction
L’échantillon est de taille n=400, la proportion supposée de client satisfait dans la population est p=0,8. Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30 , np≥5 et n(1−p)≥5
400≥30 donc n≥30
400×0,8=320 donc np≥5
400×(1−0,8)=80 donc n(1−p)≥5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On a alors : I=[p−1,96×np×(1−p);p+1,96×np×(1−p)] I=[0,8−1,96×4000,8×(1−0,8);0,8+1,96×4000,8×(1−0,8)] I=[0,760;0,840]. Ici 0,760 est une valeur approchée par défaut de 0,8−1,96×4000,8×(1−0,8) Ici 0,840 est une valeur approchée par excès de 0,8+1,96×4000,8×(1−0,8) De plus, la fréquence observée sur l’échantillon est fobs=400294=0,735 Or fobs∈/[0,760;0,840]. Il en résulte donc que le résultat du contrôle remet en question l’hypothèse, au seuil de 95%