Les lois continues

Exercice 6 - Exercice 1

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Le détaillant constate que ses melons se vendent bien lorsque leur masse est comprise entre 900900 g et 12001200 g. Dans la suite, de tels melons sont qualifiés «conformes». Le détaillant achète ses melons auprès de deux maraîchers, notés respectivement AA,BB .
Question 1
  • Pour les melons du maraîcher AA, on modélise la masse en gramme par une variable aléatoire MAM_{A} qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [850;x]\left[850 ; x\right], où xx est un nombre réel supérieur à 12001200.
  • Le maraîcher BB affirme, quant à lui, que 80%80\% des melons de sa production sont conformes.
  • Le détaillant constate que 75%75\% des melons du maraîcher AA sont conformes. Déterminer xx.

    Correction

    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [a;b]\left[a;b\right] alors : P(cXd)=dcbaP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a} .
    Pour les melons du maraîcher AA, on modélise la masse en gramme par une variable aléatoire MAM_{A} qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [850;x]\left[850 ; x\right]. Puisque 75%75\% des melons du maraîcher AA sont conformes on a :
    P(900MA1200)=0,75P\left(900\le M_{A}\le 1200\right)=0,75 équivaut successivement à :
    1200900x850=0,75\frac{1200-900}{x-850} =0,75
    1200900=0,75×(x850)1200-900=0,75\times \left(x-850\right)
    300=0,75×(x850)300=0,75\times \left(x-850\right)
    300=0,75x0,75×850300=0,75x-0,75\times 850
    300=0,75x637,5300=0,75x-637,5
    0,75x637,5=3000,75x-637,5=300
    0,75x=300+637,50,75x=300+637,5
    0,75x=937,50,75x=937,5
    x=937,50,75x=\frac{937,5}{0,75}
    x=1250x=1250

    Question 2

    Le détaillant doute de l’affirmation du maraîcher BB.Il constate que sur 400400 melons livrés parce maraîcher au cours d’une semaine, seulement 294294 sont conformes. Le détaillant a-t-il raison de douter de l’affirmation du maraîcher BB?

    Correction
    L’échantillon est de taille n=400n =400, la proportion supposée de client satisfait dans la population est p=0,8p=0,8.
    Il faut vérifier les conditions suivantes n30n\ge 30 , np5np\ge 5 et n(1p)5n\left(1-p\right)\ge 5
    • 40030400\ge 30 donc n30n\ge 30
    • 400×0,8=320400\times 0,8=320 donc np5np\ge 5
    • 400×(10,8)=80400\times \left(1-0,8\right)=80 donc n(1p)5n\left(1-p\right)\ge 5
    Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% .
    On a alors :
    I=[p1,96×p×(1p)n;p+1,96×p×(1p)n]I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]
    I=[0,81,96×0,8×(10,8)400;0,8+1,96×0,8×(10,8)400]I=\left[0,8-1,96\times \frac{\sqrt{0,8\times \left(1-0,8\right)} }{\sqrt{400} } ;0,8+1,96\times \frac{\sqrt{0,8\times \left(1-0,8\right)} }{\sqrt{400} } \right]
    I=[0,760;0,840]I=\left[0,760;0,840\right].
    Ici 0,7600,760 est une valeur approchée par défaut de 0,81,96×0,8×(10,8)4000,8-1,96\times \frac{\sqrt{0,8\times \left(1-0,8\right)} }{\sqrt{400} }
    Ici 0,8400,840 est une valeur approchée par excès de 0,8+1,96×0,8×(10,8)4000,8+1,96\times \frac{\sqrt{0,8\times \left(1-0,8\right)} }{\sqrt{400} }
    De plus, la fréquence observée sur l’échantillon est fobs=294400=0,735f_{obs}=\frac{294}{400}=0,735
    Or fobs[0,760;0,840]f_{obs} \notin \left[0,760;0,840\right]. Il en résulte donc que le résultat du contrôle remet en question l’hypothèse, au seuil de 95%95\%