Les lois continues

Exercice 5 - Exercice 1

1 min
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Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10310^{-3} .
Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires.
La totalité de la production est réalisée par deux machines MAM_{A} et MBM_{B} .
La machine MAM_{A} fournit 40% de la production totale et MBM_{B} le reste.
La machine MAM_{A} produit 2% de médailles défectueuses et la machine MBM_{B} produit 3% de médailles défectueuses.
Question 1
Partie A
On prélève au hasard une médaille produite par l'entreprise et on considère les évènements suivants :
AA : « la médaille provient de la machine MAM_{A} »;
BB : « la médaille provient de la machine MBM_{B} »;
DD : « la médaille est défectueuse »;
D\overline{D} est l'évènement contraire de l'évènement DD.

Traduire cette situation par un arbre pondéré.

Correction
D'après l'énoncé, on a :
Question 2

Montrer que la probabilité qu'une médaille soit défectueuse est égale à 0,0260,026.

Correction
Les évènements AA et BB forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
p(D)=p(AD)+p(BD)p\left(D\right)=p\left(A\cap D\right)+p\left(B\cap D\right)
p(D)=p(A)×pA(D)+p(B)×pB(D)p\left(D\right)=p\left(A\right)\times p_{A} \left(D\right)+p\left(B\right)\times p_{B} \left(D\right)
p(D)=0,4×0,2+0,6×0,03p\left(D\right)=0,4\times 0,2+0,6\times 0,03
p(D)=0,026p\left(D\right)=0,026
Question 3

Calculer la probabilité qu'une médaille soit produite par la machine MAM_{A} sachant qu'elle est défectueuse.

Correction
pD(A)=p(AD)p(D)p_{D} \left(A\right)=\frac{p\left(A\cap D\right)}{p\left(D\right)}
pD(A)=0,4×0,020,026p_{D} \left(A\right)=\frac{0,4\times 0,02}{0,026}
pD(A)0,308p_{D} \left(A\right)\approx 0,308
Question 4
Les médailles produites sont libres par lots de 2020.
On prélève au hasard un lot de 2020 médailles dans la production.
On suppose que la production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
Les tirages sont supposés indépendants.
On note XX la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de médailles défectueuses contenues dans ce lot.

Préciser la loi que suit XX et donner ses paramètres.

Correction
A chaque question la probabilité de prendre une médaille défectueuse est de 0,0260,026.
On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès « prendre une médaille défectueuse » avec la probabilité p=0,026p=0,026
On appelle échec « ne pas prendre une médaille défectueuse » avec la probabilité 1p=0,9741-p=0,974
On répète vingt fois de suite cette expérience de façon indépendante.
XX est la variable aléatoire qui associe le nombre de médailles défectueuses.
XX suit la loi binomiale de paramètre n=20n=20 et p=0,026p=0,026.
On note alors XB(20;0,026)X \sim B\left(20;0,026\right)
Question 5

Calculer la probabilité qu'il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot.

Correction
Il faut calculer :
p(X1)=p(X=0)+p(X=1)p\left(X\le 1\right)=p\left(X=0\right)+p\left(X=1\right)
A la calculatrice, on obtient :
p(X1)0,906p\left(X\le 1\right)\approx 0,906
Question 6
Partie B
Le diamètre exprimé en millimètre, d'une médaille fabriquée par cette entreprise est conforme lorsqu'il appartient à l'intervalle [74,4;75,6]\left[74,4;75,6\right].
On note YY la variable aléatoire qui, à chaque médaille prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre en millimètre.
On suppose que la variable aléatoire YY suit une loi normale de moyenne μ\mu et d'écart-type 0,250,25.
La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la densité de probabilité de YY.

Indiquer par lecture graphique la valeur de μ\mu .

Correction
Nous pouvons lire : μ=75\mu =75.
En effet, cette courbe admet pour axe de symétrie la droite d'équation x=μ=75x=\mu =75
Question 7

Déterminer à l'aide de la calculatrice la probabilité P(74,4Y75,6)P\left(74,4\le Y\le 75,6\right).

Correction
D'après la calculatrice, on a :
Pour le calcul de P(74,4Y75,6)P\left(74,4\le Y\le 75,6\right)
Avec une Texas, on tape pour P(74,4Y75,6)P\left(74,4\le Y\le 75,6\right) NormalFrep(valeur min,valeur max ,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici NormalFrep(74.474.4 , 75.675.6 , 7575 , 0.250.25) puis taper sur enter et vous obtiendrez :
P(74,4Y75,6)0,984P\left(74,4\le Y\le 75,6\right)\approx 0,984

Avec une Casio Graph 35+, on tape pour P(74,4Y75,6)P\left(74,4\le Y\le 75,6\right)
Normal C.D
Lower : 74,474,4 Valeur Minimale
Upper : 75,675,6 Valeur Maximale
σ\sigma : 0,250,25 Ecart type
μ\mu : 7575 Espérance

puis taper sur EXE et vous obtiendrez :
P(74,4Y75,6)0,984P\left(74,4\le Y\le 75,6\right)\approx 0,984
Question 8

En utilisant un résultat du cours, déterminer la valeur de hh pour que P(75hY75+h)0,95P\left(75-h\le Y\le 75+h\right)\approx 0,95.

Correction
Le résultat de cours est : p(μ2σXμ+2σ)0,95p\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)\approx 0,95.
Ici h=2σ=0,50h=2\sigma =0,50.
Question 9
Partie C
Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la machine MBM_{B} , on admet que la proportion des médailles ayant une épaisseur non conforme dans la production est de 3%.
Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine MBM_{B} , on a prélevé au hasard un échantillon de 180 médailles et on a constaté que 11 médailles ont une épaisseur non conforme.

Calculer, dans l'échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l'épaisseur n'est pas conforme.

Correction
La fréquence de médaille défectueuse est de :
fobs=111800,061f_{obs} =\frac{11}{180} \approx 0,061
Question 10

Déterminer, en justifiant, si le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine MBM_{B} .

Correction
Ici n=180n=180 et p=0,03p=0,03
n30n\ge 30; np=180×0,03=5,45np=180\times 0,03=5,4\ge 5 et n(1p)=180×0,97=174,65n(1-p)=180\times 0,97=174,6\ge 5.
Les conditions d'approximation sont réalisées donc on peut prendre comme intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% :
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% vaut :
I=[p1,96p(1p)n;p+1,96p(1p)n]\begin{array}{l} {I=\left[p-1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } \right]} \end{array}
I[0,005;0,055]\begin{array}{l} {I\approx \left[0,005;0,055\right]} \end{array}
Or : fobsIf_{obs} \notin I, le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine MBM_{B} .